Lý thuyết về hình đa giác - Toán lớp 8

Đa giác là một chủ đề quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong lĩnh vực hình học. Đa giác được định nghĩa là hình gồm nhiều hơn hai cạnh thẳng, các cạnh này được nối với nhau bởi các đỉnh.

Có nhiều loại đa giác khác nhau, được phân loại dựa trên số lượng cạnh và góc, bao gồm tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác, v.v. Mỗi loại đa giác có những đặc điểm và tính chất riêng biệt. Bài viết này sẽ giới thiệu về đa giác, bao gồm định nghĩa, phân loại, tính chất và ứng dụng của đa giác trong thực tế.

Tìm hiểu về đa giác 

Định nghĩa 

Đa giác là một hình được tạo thành từ ba hoặc nhiều hơn các đoạn thẳng liên tiếp được gọi là cạnh, sao cho hai đoạn thẳng kề nhau chỉ giao nhau tại một điểm, và đoạn thẳng cuối cùng giao với đoạn thẳng đầu tiên tại một điểm. Đa giác có thể có bất kỳ số lượng cạnh nào lớn hơn ba.

Tính chất 

Tính chất chung của đa giác:

Số đường chéo:

Trong đa giác n cạnh, số đường chéo bằng \(\frac{n(n – 3)}{2}\).

Tổng số đo các góc trong:

Tổng số đo các góc trong của đa giác n cạnh bằng (n – 2).\(180^\circ\).

Tính chất của đa giác lồi:

Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác mà tất cả các góc trong của nó đều nhỏ hơn \(180^\circ\).

Tính chất:

Mọi đường chéo của đa giác lồi nằm trong đa giác.

Góc tạo bởi hai cạnh bất kỳ của đa giác lồi không kề nhau là góc ngoài của đa giác.

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác lồi bằng \(360^\circ\).

Hai đường chéo bất kỳ của đa giác lồi cắt nhau tại một điểm nằm trong đa giác.

Tính chất của đa giác đều:

Định nghĩa: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.

Tính chất:

Đa giác đều có n trục đối xứng.

Góc trong của đa giác n cạnh đều bằng (n – 2).\(\frac{180^\circ}{n}\).

Tổng số đo các góc trong của đa giác n cạnh đều bằng (n – 2).\(180^\circ\).

Đường chéo của đa giác đều chia đa giác thành những tam giác cân bằng nhau.

Ngoài ra, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để tìm hiểu thêm về tính chất của đa giác:

Sách giáo khoa Toán cấp 2 và cấp 3.

Các trang web giáo dục trực tuyến.

Sách bài tập về đa giác.

Phân loại đa giác

Đa giác có thể được phân loại dựa trên một số tiêu chí khác nhau, bao gồm:

• Số cạnh:
  • Tam giác: Đa giác có ba cạnh.
  • Tứ giác: Đa giác có bốn cạnh.
  • Ngũ giác: Đa giác có năm cạnh.
  • Lục giác: Đa giác có sáu cạnh.
  • v.v.
• Góc:
  • Lồi: Tất cả các góc trong đa giác đều nhọn.
  • Lõm: Tồn tại ít nhất một góc trong đa giác là góc lõm.
• Đối xứng:
  • Đa giác đều: Các cạnh và các góc của đa giác đều có cùng độ dài và độ lớn.
  • Đa giác không đều: Các cạnh và các góc của đa giác không cùng độ dài và độ lớn.
• Đặc điểm khác:
  • Đa giác lồi: Tất cả các góc lồi.
  • Đa giác lõm: Tồn tại ít nhất một góc lõm.

Ngoài ra, đa giác cũng có thể được phân loại dựa trên kết hợp của các đặc điểm trên. Ví dụ, một hình là một “ngũ giác lồi” nếu nó có năm cạnh và tất cả các góc của nó đều là góc nhọn.

Việc phân loại đa giác giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các đặc điểm và tính chất của chúng, cũng như cách chúng tương tác trong các vấn đề hình học.

Đa giác đều 

Định nghĩa đa giác đều 

Đa giác đều là một loại đa giác mà tất cả các cạnh và tất cả các góc đều có cùng độ dài và độ lớn. Điều này có nghĩa là mỗi cạnh của đa giác đều có cùng một độ dài và mỗi góc trong đa giác đều có cùng một độ lớn.

Tính chất đa giác đều 

Số đường chéo: Trong đa giác n cạnh đều, số đường chéo bằng \(\frac{n(n – 3)}{2}\).

Tổng số đo các góc trong: Tổng số đo các góc trong của đa giác n cạnh đều bằng (n – 2).\(180^\circ\).

Góc trong: Góc trong của đa giác n cạnh đều bằng (n – 2).\(\frac{180^\circ}{n}\).

Đường chéo: Đường chéo của đa giác đều chia đa giác thành những tam giác cân bằng nhau.

Đối xứng: Đa giác đều có n trục đối xứng.

Công thức tính đa giác đều 

Để tính diện tích và chu vi của một đa giác đều, chúng ta có thể sử dụng các công thức sau:

Diện tích của đa giác đều:
Để tính diện tích của một đa giác đều, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

\(A = \frac{1}{4} n s^2 \cot \left( \frac{\pi}{n} \right)\)

Trong đó:

A là diện tích của đa giác đều.

n là số lượng cạnh của đa giác đều.

s là độ dài của một cạnh của đa giác đều.

Chu vi của đa giác đều:
Chu vi của một đa giác đều được tính bằng cách nhân số lượng cạnh với độ dài của mỗi cạnh:   

P = n×s 

Trong đó:

P là chu vi của đa giác đều.

n là số lượng cạnh của đa giác đều.

s là độ dài của một cạnh của đa giác đều.

Đây là các công thức cơ bản để tính diện tích và chu vi của một đa giác đều. Bạn chỉ cần biết số lượng cạnh và độ dài của một cạnh để tính toán được.

Ví dụ: Chứng minh hình thoi ABCD là hình vuông.

Giải:

ABCD là hình thoi nên AB = CD và AD = BC.

Ta có: ∠BAD = ∠ABC (góc kề bù) và ∠BAD = ∠CDA (góc đối đỉnh).

Do đó, ∠ABC = ∠CDA.

Xét ∆ABC và ∆CDA, ta có:

AB = CD (cmt)

∠BAC = ∠DCA (cmt)

AC: cạnh chung

Vậy ∆ABC = ∆CDA (c.g.c)

Suy ra: ∠ACB = ∠CAD (góc tương ứng)

Mà ∠ACB = \(180^\circ\)(ABCD là hình thoi)

Do đó, ∠CAD = \(180^\circ\)

Vậy ABCD là hình vuông.

Qua bài viết này, hy vọng bạn đã có cái nhìn tổng quan về đa giác, bao gồm định nghĩa, phân loại, tính chất và ứng dụng của đa giác trong thực tế. Đa giác là một chủ đề quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như kiến trúc, kỹ thuật, nghệ thuật, v.v. Hiểu rõ về đa giác sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán toán học và ứng dụng vào thực tế một cách hiệu quả.