Lý thuyết Đối xứng trục

Đối xứng trục là một khái niệm quan trọng trong môn Toán học. Khái niệm này giúp học sinh có thể nhận biết và vẽ các hình đối xứng trục một cách chính xác. Bài viết này sẽ hướng dẫn các bạn cách xác định và vẽ hình đối xứng trục, đồng thời trình bày các tính chất của hình đối xứng trục.

Mục lục

Định nghĩa về phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục là một phép biến hình trong hình học, nơi mỗi điểm của một hình được “phản chiếu” qua một đường thẳng (gọi là trục đối xứng) để tạo ra một hình mới có tính đối xứng với hình ban đầu qua trục này. Cụ thể, cho mỗi điểm P trên hình gốc, sẽ có một điểm P′ trên hình đối xứng sao cho trục đối xứng là đường trung trực của đoạn thẳng PP’

Đặc điểm của phép đối xứng trục

Trục đối xứng: Là đường thẳng xung quanh đó hình được phản chiếu.

Điểm đối xứng: Mỗi điểm P trên hình gốc qua phép đối xứng sẽ tương ứng với điểm P′ trên hình đối xứng sao cho PP′ vuông góc với trục đối xứng và P và P′ cách đều trục đối xứng.

Tính chất đường: Các đường thẳng hoặc đoạn thẳng trên hình gốc sẽ có ảnh đối xứng tương ứng trên hình ảnh, với các đường này cũng được phản chiếu qua trục đối xứng.

Đối xứng góc: Góc tạo bởi một đoạn thẳng trên hình gốc và trục đối xứng bằng với góc tạo bởi đoạn thẳng đối xứng trên hình ảnh và trục.

Tính chất của phép đối xứng trục

Phép đối xứng trục biến điểm thành điểm:

Cho điểm M bất kỳ, điểm M’ đối xứng với M qua trục d thì:

M và M’ nằm khác phía so với trục d.

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Phép đối xứng trục giữ nguyên khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ:

Cho hai điểm A và B bất kỳ, A’ và B’ là hai điểm đối xứng với A và B qua trục d thì:

AA’ = BB’.

Chứng minh:

Gọi O là giao điểm của AB và d.
Ta có: OA = OA’ (tính chất đối xứng trục)
OB = OB’ (tính chất đối xứng trục)
Do đó: AA’ = AO + OA’ = BO + OB’ = BB’.

Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng:

Cho đường thẳng a bất kỳ, a’ là đường thẳng đối xứng với a qua trục d thì:

a và a’ song song với nhau.
a và a’ cách đều trục d.

Chứng minh:

Lấy hai điểm A và B bất kỳ trên a.
A’ và B’ là hai điểm đối xứng với A và B qua trục d.
Do đó: AA’ // BB’ (tính chất đối xứng trục)
Ta có: AA’ = BB’ (tính chất đối xứng trục)
Do đó: a và a’ cách đều trục d.

Phép đối xứng trục biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó:

Cho đoạn thẳng AB bất kỳ, A’B’ là đoạn thẳng đối xứng với AB qua trục d thì:

A’B’ = AB.

Chứng minh:

Gọi O là giao điểm của AB và d.
Ta có: OA = OA’ (tính chất đối xứng trục)
OB = OB’ (tính chất đối xứng trục)
Do đó: A’B’ = AO + OA’ + OB’ + BO = AB.

Phép đối xứng trục biến tam giác thành tam giác bằng nó:

Cho tam giác ABC bất kỳ, A’B’C’ là tam giác đối xứng với ABC qua trục d thì:
- A’B’C’ = ABC.

Chứng minh:

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
M’, N’, P’ lần lượt là trung điểm của B’C’, C’A’, A’B’.
Ta có: MN // M’N’ (tính chất đối xứng trục)
NP // N’P’ (tính chất đối xứng trục)
PM // P’M’ (tính chất đối xứng trục)
MN = M’N’ (tính chất đối xứng trục)
NP = N’P’ (tính chất đối xứng trục)
PM = P’M’ (tính chất đối xứng trục)
Do đó: A’B’C’ = ABC (g.c.g)

Phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính:

Cho đường tròn (O; R) bất kỳ, (O’; R’) là đường tròn đối xứng với (O; R) qua trục d thì:

O’ là điểm đối xứng với O qua trục d.
R’ = R.

Chứng minh:

Gọi A là một điểm bất kỳ trên đường tròn (O; R).

Phép đối xứng trục biến góc thành góc bằng nó:

Cho góc ∠AOB bất kỳ, ∠A′O′B′

Cách vẽ hình đối xứng trục

Xác định trục đối xứng:

Bước đầu tiên là xác định vị trí của trục đối xứng. Trục đối xứng có thể là đường thẳng, đoạn thẳng, hoặc đường cong.

Vẽ điểm đối xứng:Sau khi xác định được trục đối xứng, ta cần vẽ điểm đối xứng với mỗi điểm trên hình cho trước.

Đối xứng qua đường thẳng:
- Lấy một điểm M bất kỳ trên hình cho trước.
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng MM’.
- Điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng d là điểm nằm trên đường trung trực và cách M một khoảng bằng nhau.
Đối xứng qua điểm O:
- Lấy một điểm M bất kỳ trên hình cho trước.
- Nối M và O.
- Lấy điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
- Điểm M’ đối xứng với M qua điểm O là điểm nằm trên đường thẳng MO và cách M một khoảng bằng nhau.

Vẽ hình đối xứng:

Sau khi vẽ xong các điểm đối xứng, ta nối các điểm đối xứng với nhau để tạo thành hình đối xứng.

Ví dụ:

Vẽ hình vuông đối xứng qua đường thẳng d:

Cách vẽ:

Vẽ đường thẳng d.
Vẽ một điểm A bất kỳ trên đường thẳng d.
Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Lấy điểm A’ trên đường trung trực sao cho AA’ = AA.
Vẽ các đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
Hình vuông A’B’C’D’ là hình đối xứng với hình vuông ABCD qua đường thẳng d.

Lưu ý:

Khi vẽ hình đối xứng, ta cần đảm bảo rằng các điểm đối xứng nằm cách đều trục đối xứng.
Các đường thẳng, đoạn thẳng, đường cong đối xứng với nhau phải bằng nhau và nằm về hai phía của trục đối xứng.

Tóm lại, đối xứng trục là một khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này đã cung cấp cho các bạn các cách xác định và vẽ hình đối xứng trục, đồng thời trình bày các tính chất của hình đối xứng trục. Các bạn có thể áp dụng kỹ năng này để giải các bài tập toán học và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.