Tổng hợp công thức diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Nắm vững cách tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến hình trụ một cách hiệu quả và chính xác

Hình trụ là gì?

Là hình có hai đáy là hình tròn bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song.

Mặt phẳng đi qua trục và cắt hai đáy theo hai dây cung song song là mặt cắt trụ.

Đường sinh là đoạn thẳng vuông góc với hai đáy.

Chiều cao là khoảng cách giữa hai đáy.

Công thức diện tích xung quanh của hình trụ

Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Công thức

$$Sxq = 2πRh$$

Sxq: Diện tích xung quanh của hình trụ.

π: Số Pi (π ≈ 3,14).

R: Bán kính đáy của hình trụ.

h: Chiều cao của hình trụ.

Giải thích công thức

2πRh: Chu vi đáy hình trụ * Chiều cao hình trụ.

Thể tích xung quanh của hình trụ

Định nghĩa

Thể tích của hình trụ là thể tích của phần không gian được giới hạn bởi mặt xung quanh và hai đáy của hình trụ.

Công thức

$$V = πR²h$$

V: Thể tích của hình trụ.

π: Số Pi (π ≈ 3,14).

R: Bán kính đáy của hình trụ.

h: Chiều cao của hình trụ.

Giải thích công thức

πR²: Diện tích đáy hình trụ * Chiều cao hình trụ.

Các dạng toán thường gặp 

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, thể tích của hình trụ khi biết bán kính đáy và chiều cao.

Ví dụ:

Cho hình trụ có bán kính đáy R = 5cm, chiều cao h = 10cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

b) Tính thể tích của hình trụ.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Sxq = 2πRh = 2 x 3,14 x 5 x 10 = 314cm²

b) Thể tích của hình trụ là:

V = πR²h = 3,14 x 5² x 10 = 785cm³

Dạng 2: Tính bán kính đáy, chiều cao khi biết diện tích xung quanh, thể tích và một trong hai đại lượng kia.

Ví dụ:

Một hình trụ có diện tích xung quanh là 94,2cm², chiều cao h = 5cm. Tính bán kính đáy của hình trụ.

Một hình trụ có thể tích là 1570cm³, chiều cao h = 10cm. Tính bán kính đáy của hình trụ.

Lời giải:

Bán kính đáy của hình trụ là:

\(R = \frac{S \times q}{2\pi h} = \frac{94.2 \, \text{cm}^2}{2 \times 3.14 \times 5 \, \text{cm}} = 3 \, \text{cm}\)

Bán kính đáy của hình trụ là:

\(R = \sqrt{\frac{V}{\pi h}} = \sqrt{\frac{1570 \, \text{cm}^3}{3.14 \times 10 \, \text{cm}}} = 6 \, \text{cm}\)

Dạng 3: Vận dụng tính diện tích xung quanh, thể tích vào giải bài toán thực tế.

Ví dụ:

Một cái thùng phuy hình trụ có bán kính đáy R = 30cm, chiều cao h = 60cm. Người ta đổ đầy nước vào thùng. Hỏi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

Lời giải:

Thể tích nước thùng chứa được là:

V = πR²h = 3,14 x 30² x 60 = 169560cm³ = 169,56 lít

Giải bài tập sách giáo khoa Toán lớp 9 – Diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ

Bài 40:

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh bên bằng 25cm, đáy là hình vuông cạnh 4cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Sxq = p x d = 4 x 25 = 100cm²

b) Diện tích đáy của hình chóp là:

Sđáy = a² = 4² = 16cm²

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

S = Sxq + Sđáy = 100cm² + 16cm² = 116cm²

Bài 41:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, trung đoạn SO = h.

a) Chứng minh rằng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp theo a và h.

Lời giải:

a) Ta có:

SO là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều.

Mặt phẳng (ABCD) là mặt phẳng đáy.

Vì vậy, SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

b) Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Sxq = p x d = 4 x a/2 x h = 2ah

Bài 42:

Tính độ dài đường cao của hình chóp tứ giác đều với các kích thước cho trên hình vẽ:

[Hình vẽ]

Lời giải:

Gọi O là trung điểm của AB.

Ta có:

SO là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều.

SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

SA là cạnh bên của hình chóp.

AO là đường trung tuyến của tam giác SAC vuông tại A.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông SAC, ta có:

SA² = SC² – AC² = 10² – 4² = 84

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông SAO, ta có:

SO² = SA² – AO² = 84 – 2² = 80

Suy ra SO = √80 = 4√5cm.

Vậy độ dài đường cao của hình chóp là 4√5cm.

Bài 43:

Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình chóp tứ giác đều sau đây:

a) Hình chóp có độ dài cạnh bên là 5cm, cạnh đáy là 4cm.

b) Hình chóp có độ dài đường cao là 6cm, cạnh đáy là 4cm.

Lời giải:

a) Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Sxq = p x d = 4 x 5 = 20cm²

Diện tích đáy của hình chóp là:

Sđáy = a² = 4² = 16cm²

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

S = Sxq + Sđáy = 20cm² + 16cm² = 36cm²

b) Diện tích xung quanh của hình chóp là:

Sxq = p x d = 4 x 6/2 x 4 = 24cm²

Diện tích đáy của hình chóp là:

Sđáy = a² = 4² = 16cm²

Diện tích toàn phần của hình chóp là:

S = Sxq + Sđáy = 24cm² + 16cm² = 40cm²

Bài viết đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. Hy vọng những thông tin này hữu ích cho bạn và giúp bạn giải quyết tốt các bài toán liên quan đến diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn