Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 môn toán Nghệ An là một sự kiện quan trọng đánh dấu bước ngoặt trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán Nghệ An, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán Nghệ An
Lời giải chi tiết
Câu 1
a) Ta có:
\[ A = \sqrt{4} + \sqrt{49} + \sqrt{64} = 2 + 7 + 8 = 17 \]
b) Rút gọn biểu thức \( P \):
\[
\begin{aligned}
P &= \left(\frac{\sqrt{x}}{2} – \frac{1}{\sqrt{x}}\right) \times \frac{4x}{x – 1} \\
&= \left(\frac{2\sqrt{x} – 2}{2\sqrt{x}}\right) \times \frac{4x}{x – 1} \\
&= \frac{8\sqrt{x}}{x – 1}
\end{aligned}
\]
Với \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \)
c) Tìm giá trị của \( b \) để đường thẳng \( y = 2x + b – 1 \) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1:
Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 khi \( y = 0 \).
Ta có:
\(0 = 2 \cdot 1 + b – 1\)
\(\Rightarrow b = -1\)
Câu 2
Phân tích đa thức thành nhân tử:
\[ x^2 + 3x – 10 = (x + 5)(x – 2) = 0 \]
Giải từng phương trình:
\[ x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5 \]
\[ x – 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \]
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[ (1 + 1)(x_1^2 + 5x_2^2) \geq (x_1 + x_2)^2 \]
\[ 2(x_1^2 + 5x_2^2) \geq 25 \Rightarrow x_1^2 + 5x_2^2 \geq \frac{25}{2} \]
Dấu “=” xảy ra khi \( \frac{x_1}{1} = \frac{5x_2}{1} \) và \( x_1 + x_2 = 5 \)
Giải hệ, ta được \( x_1 = 2; x_2 = 1 \)
Thay vào biểu thức, ta được:
\[ T = \frac{(2^2 + 1)(1 + 1)}{2^2 + 5 \cdot 1} \]
\[ = \frac{6}{4 + 5} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]
\[ \text{Vậy } T = \frac{2}{3}. \]
Câu 3
a,
Gọi số xe loại I là \( x \) và số xe loại II là \( y \).
Ta có hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 50 \\
2x + 6y = 160
\end{array}
\right.
\]
Giải hệ phương trình, ta được:
\[
x = 30, \quad y = 20
\]
Vậy của hàng đã nhập về 30 xe loại I và 20 xe loại II.
b,
Gọi thể tích viên bi là \( V \).
Khi viên bi chìm hoàn toàn trong nước, thể tích nước dâng lên bằng thể tích viên bi.
Diện tích đáy lọ thủy tinh là:
\(S = \pi r^2 = \pi (1,5)^2 = 7,065cm^2\)
Thể tích nước dâng lên là:
\(V_n = Sh = 7,065 \cdot 0,5 = 3,5325cm^3\)
Vậy thể tích viên bi là:
\(V=V_n= 3,5325cm^3\)
Vậy thể tích viên bi bạn An đã bỏ vào lọ thủy tinh là 3,5325 \( cm^3 \).
Câu 4
a,
Sử dụng tính chất góc nội tiếp:
Góc \( \angle AEF \) và \( \angle AFH \) cùng nhìn cạnh \( AH \) dưới các góc bằng nhau.
Góc \( \angle AFE \) và \( \angle AHE \) cùng nhìn cạnh \( AE \) dưới các góc bằng nhau.
Từ đó, ta có:
\(\angle AEH = \angle AFH\)
\(\angle AFE = \angle AHE\)
Do đó, tứ giác \( AEHF \) có hai góc đối bằng nhau, suy ra tứ giác \( AEHF \) nội tiếp được trong đường tròn.
b,
Ta có:
\(\angle OFC = \angle OAF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(OF\))
\(\angle FAD = \angle FAE\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(FA\))
Mặt khác, \(\angle FAE = \angle OFC\) (góc đối đỉnh)
Do đó, \(\angle FAD = \angle OFC\)
Xét hai tam giác \( FAD \) và \( OFC \), ta có:
\(\angle FAD = \angle OFC\) (cmt)
\(\angle DFA = \angle CFO\) (góc chung)
Do đó, \(\triangle FAD \sim \triangle OFC\) (g.g)
\(\Rightarrow \frac{FA}{OF} = \frac{FD}{OC}\)
Lại có:
\(OM = OF – FM\)
\(OC = OD – CD\)
Mặt khác, \(FD = CD\) (tính chất đường phân giác)
Do đó, \(OC = OD – OM\).
c,
Ta có:
\(\angle MHF = \angle MAF\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MF)
\(\angle MAO = \angle MHO\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MO)
Mặt khác, \(\angle MAF = \angle MHO\) (góc đối đỉnh)
Do đó, \(\angle MHF = \angle MAO\)
Xét hai tam giác MHF và MAO, ta có:
\(\angle MHF = \angle MAO\) (cmt)
\(\angle MFH = \angle MAO\) (góc chung)
Do đó, \(\triangle MHF \sim \triangle MAO\) (g.g)
\(\Rightarrow \frac{MH}{MA} = \frac{MF}{MO}\)
Lại có:
\(\angle MHA = 90^\circ\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, \(\angle MHO = 90^\circ\)
Suy ra: \( MH \perp AO \).
Câu 5
Bước 1: Biến đổi phương trình thứ nhất
Ta có:
\((x^2 + 1)(y^2 + 1) = 4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1 = 4\)
\(\Leftrightarrow x^2y^2 + x^2 + y^2 = 3\)
Bước 2: Biến đổi phương trình thứ hai
Ta có:
\(x\sqrt{y^2 + 1} + y\sqrt{x^2 + 1} = 2x^2y^2 – 1\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{y^2 + 1} + y\sqrt{x^2 + 1} = 2x^2y^2\)
Lại có:
\((x\sqrt{y^2 + 1} + 1)^2 = x^2(y^2 + 1) + 2x\sqrt{y^2 + 1} + 1 = x^2y^2 + 2x\sqrt{y^2 + 1} + 1 + x^2\)
\(= x^2y^2 + x^2 + 2\sqrt{x^2 + 1}\cdot\sqrt{y^2 + 1} + 1\)
Tương tự, ta có:
\((y\sqrt{x^2 + 1} + 1)^2 = x^2y^2 + y^2 + 2\sqrt{x^2 + 1}\cdot\sqrt{y^2 + 1} + 1\)
Do đó:
\[
(x\sqrt{y^2 + 1} + 1)^2 + (y\sqrt{x^2 + 1} + 1)^2 = 2(x^2y^2 + x^2 + y^2 + 1)
\]
\[
\Leftrightarrow 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 + 2 = 2(3 + 1)
\]
\[
\Leftrightarrow 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2 = 8
\]
\[
\Leftrightarrow x^2y^2 + x^2 + y^2 = 4
\]
Bước 3: Giải hệ phương trình
Ta có hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{aligned}
x^2y^2 + x^2 + y^2 &= 3 \\
x^2y^2 + x^2 + y^2 &= 4
\end{aligned}
\right.
\]
Lấy phương trình thứ hai trừ phương trình thứ nhất, ta được:
\[
0 = 1
\]
Vậy hệ phương trình vô nghiệm.
Kết luận: Hệ phương trình vô nghiệm.
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi tuyển sinh lớp 10 sắp tới !
