\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1
\]
\[
x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2 – \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = -\frac{4}{2} = -3
\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \(x_1 = 1\), \(x_2 = -3.\)
Đặt \( a = \sqrt{x} \). Khi đó phương trình trở thành:
\[ a^2 – 3a – 4 = 0 \]
Phương trình này có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \).
Ta có \( \Delta = b^2 – 4ac = (-3)^2 – 4(1)(-4) = 25 > 0 \).
Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\[ a_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ a_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 – \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-2}{2} = -1 \]
Với \( a_1 = 4 \), ta có \( \sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16 \).
Với \( a_2 = -1 \), ta có \( \sqrt{x} = -1 \) (vô nghiệm).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 16.
Từ phương trình đầu tiên, ta có: \( x = y – 1 \). Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
\[ 2(y – 1) + 3y = 8 \]
\[ \Leftrightarrow 5y – 2 = 8 \]
\[ \Leftrightarrow 5y = 10 \]
\[ \Leftrightarrow y = 2 \]
Thay \( y = 2 \) vào phương trình đầu tiên, ta được:
\[ x – 2 = -1 \]
\[ \Leftrightarrow x = 1 \]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x, y) = (1, 2) .
x | \(y = -0,5x^2\) |
-2 | 2 |
-1 | 0,5 |
0 | 0 |
1 | 0,5 |
2 | 2 |
Đồ thị của hàm số \(y = -0,5x^2\) là một parabol đi qua các điểm (-2; 2), (-1; 0,5), (0; 0), (1; 0,5), (2; 2).
(d’) vuông góc với (d) nên hệ số góc của (d’) bằng -2.
Gọi phương trình của (d’) là y = -2x + b.
Để (d’) tiếp xúc với (P), ta cần có:
\(-2x + b = -0,5x^2\)
Thay x = 1 và x = -1 vào phương trình trên, ta được:
-2 + b = -0,5
2 + b = -0,5
Giải hệ phương trình này, ta được: b = 0,5 và b = 3,5.
Vậy phương trình đường thẳng (d’) là y = -2x + 0,5 hoặc y = -2x + 3,5.
Phương trình đã cho có dạng \(ax^2 + bx + c = 0\) với \(a = 1\), \(b = -2(m + 1)\), \(c = m^2 + m\).
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần có:
\[ \Delta = b^2 – 4ac > 0 \]
\[ \Leftrightarrow [-2(m + 1)]^2 – 4(1)(m^2 + m) > 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4m^2 + 8m + 4 – 4m^2 – 4m > 0 \]
\[ \Leftrightarrow 4m + 4 > 0 \]
\[ \Leftrightarrow m > -1 \]
Vậy với \(m > -1\), phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Gọi \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai nghiệm của phương trình.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2(m + 1) \]
\[ x_1x_2 = \frac{c}{a} = m^2 + m \]
Ta cần tìm hệ thức liên hệ giữa \( x_1 \) và \( x_2 \) mà không phụ thuộc vào tham số \( m \).
Ta có:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1x_2 \]
\[ = [2(m + 1)]^2 – 2(m^2 + m) \]
\[ = 4m^2 + 8m + 4 – 2m^2 – 2m \]
\[ = 2m^2 + 6m + 4 \]
\[ = 2(m^2 + 3m + 2) \]
\[ = 2[(m + 1)^2 + 1] \]
Vì \( m > -1 \) nên \( (m + 1)^2 + 1 > 0 \).
Do đó, \( x_1^2 + x_2^2 > 0 \).
Vậy hệ thức liên hệ giữa \( x_1 \) và \( x_2 \) mà không phụ thuộc vào tham số \( m \) là:
\[ x_1^2 + x_2^2 = 2[(m + 1)^2 + 1] > 0 \]
Gọi:
Giá niêm yết của quạt máy là x (đồng).
Giá niêm yết của ấm đun siêu tốc là y (đồng).
Ta có:
Khi chưa giảm giá, tổng số tiền Bác Tư phải trả là x + y = 630000 (đồng).
Sau khi giảm giá, giá của quạt máy là 85%x (đồng).
Sau khi giảm giá, giá của ấm đun siêu tốc là 88%y (đồng).
Do đó, tổng số tiền Bác Tư phải trả sau khi giảm giá là 85%x + 88%y = 543000 (đồng).
Ta có hệ phương trình:
\begin{cases}x+y=630000\ 0,85x+0,88y=543000\end{cases}
Giải hệ phương trình:
Nhân phương trình thứ nhất với 0,88, ta được:
0,88x + 0,88y = 554400
Lấy phương trình này trừ phương trình thứ hai, ta được:
0,03x = 11400
Giải phương trình này, ta được: x = 380000.
Thay x = 380000 vào phương trình thứ nhất, ta được:
380000 + y = 630000
Giải phương trình này, ta được: y = 250000.
Vậy:
Giá niêm yết của quạt máy là 380000 đồng.
Giá niêm yết của ấm đun siêu tốc là 250000 đồng.
Ta có: ∠BDC \(\le\) BCD=90∘(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Do đó, tứ giác BCHD nội tiếp được trong đường tròn đường kính BC.
Gọi I là trung điểm của BC.
Ta có: ∠BDI \(\le\) BID (góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Mặt khác, ∠BDI \(\le\) CDI (góc đối đỉnh)
Do đó, ∠BID \(\le\) CDI
Xét hai tam giác BID và CID, ta có:
BD = CD (bán kính)
∠BID \(\le\) CDI (cmt)
BI = CI (I là trung điểm của BC)
Do đó, △BID=△CID (g.c.g)
Suy ra:
∠IBD \(\le\)I CD
Mặt khác, ∠IBD \(\le\) IDH (góc nội tiếp cùng chắn cung ID)
Do đó, ∠ICD \(\le\) IDH
Xét hai tam giác ICD và IDH, ta có:
ID chung
∠ICD \(\le\) IDH (cmt)
CD = HD (bán kính)
Do đó, △ICD=△IDH (g.c.g)
Suy ra:
∠CID \(\le\) CHI
Mặt khác, ∠CID \(\le\) CHD (góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Do đó, ∠CHI \(\le\) CHD
Xét hai tam giác CHI và CHD, ta có:
CH chung
∠CHI \(\le\) CHD (cmt)
HI = HD (bán kính)
Do đó, △CHI=△CHD (g.c.g)
Suy ra:
∠CIH \(\le\) CDH
Mặt khác, ∠CIH \(\le\) CIN (góc nội tiếp cùng chắn cung CN)
Do đó, ∠CDH \(\le\)CIN
Tứ giác CNHD có ∠CDH \(\le\) CIN (cmt)
Do đó, tứ giác CNHD nội tiếp được trong đường tròn.
Ta có: ∠CMO \(\le\) CDO (góc nội tiếp cùng chắn cung CO)
Mặt khác, ∠CMO \(\le\) MCO (góc đối đỉnh)
Do đó, ∠CDO \(\le\) MCO
Xét hai tam giác CMO và CDO, ta có:
CO chung
∠CMO \(\le\) CDO (cmt)
CM = CD (bán kính)
Do đó, △CMO=△CDO (g.c.g)
Suy ra: CM = CO.
Ta có: ∠EBC \(\le\) ECD (góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Mặt khác, ∠EBC \(\le\) ABE (góc đối đỉnh)
Do đó, ∠ECD \(\le\) ABE
Xét hai tam giác ABE và ECD, ta có:
BE = DE (bán kính)
∠ABE \(\le\) ECD (cmt)
AE chung
Do đó, △ABE=△ECD (g.c.g)
Suy ra: \(EA.EB = EC^2\).
Khi quay tam giác \( DNB \) một vòng quanh cạnh \( DN \) ta được một hình nón có đường sinh \( DN = 8 \) cm và bán kính đáy \( BD = 6 \) cm.
Thể tích của hình nón tạo thành là:
\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi (6^2) (8) = 96\pi \ \text{cm}^3 \]
Vậy thể tích của hình nón tạo thành là \( 96\pi \ \text{cm}^3 \).
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới !