Kỳ thi tuyển sinh vào 10 là một sự kiện quan trọng trong cuộc đời mỗi học sinh. Bài viết này, sẽ trình bày hướng dẫn giải chi tiết đề thi thử vào 10 môn toán, giúp các em ôn tập và củng cố kiến thức, đồng thời rút ra kinh nghiệm cho kỳ thi sắp tới của mình.
Đề thi thử vào 10 môn toán trường THCS Minh Khai – Hà Nội
Giải chi tiết
Câu 1:
a, Rút gọn biểu thức B
\[ \begin{align*}
x – 1 &= (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1) \\
&= (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} – 1) \\
&= x – 1
\end{align*} \]
b, Tính giá trị của biểu thức B
\[ \begin{align*}
B &= \frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 1)^2} \\
&= \frac{2\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}}{(\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} + 1)^2} \\
&= \frac{2\sqrt{3} + 2}{(\sqrt{3} + 1 + 1)^2} \\
&= \frac{2(\sqrt{3} + 1)}{4} \\
&= \frac{\sqrt{3} + 1}{2}
\end{align*} \]
Câu 2:
a, Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(Q(1; -2)\) khi và chỉ khi tọa độ của điểm \(Q\) thỏa mãn phương trình của đường thẳng.
Thay \(x = 1\) và \(y = -2\) vào phương trình của đường thẳng \(d\), ta được:
\[ -2 = -1 + 2m – 1 \]
\[ \Leftrightarrow 2m = 0 \]
\[ \Leftrightarrow m = 0 \]
Vậy \( m = 0 \).
b,
\[ \begin{cases}
y = -x + 2m – 1 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
\[ \Rightarrow \begin{cases}
-x + 2m – 1 = 2x – 3 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
\[ \Rightarrow \begin{cases}
-3x + 2m – 2 = 0 \\
y = 2x – 3
\end{cases} \]
Thay \( x = 2m – 2 \) vào phương trình \( y = 2x – 3 \) ta được:
\[ y = 2(2m – 2) – 3 \]
\[ y = 4m – 7 \]
Để điểm giao điểm nằm về phía bên trái trục tung thì \( x < 0 \). Thay \( x = 2m – 2 \) vào điều kiện \( x < 0 \) ta được:
\[ 2m – 2 < 0 \]
\[ \Leftrightarrow m < 1 \]
Vậy \( 0 < m < 1 \) để đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d’\) cắt nhau tại một điểm nằm về phía bên trái trục tung.
Câu 3:
Cho hệ phương trình:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x + my = 3m \\
mx – y = m^2 – 2
\end{array}
\right.
\]
a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \), ta có hệ sau:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x + y = 3 \\
x – y = -1
\end{array}
\right.
\]
Cộng vế với vế của hai phương trình, ta được \( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \).
Thay \( x = 1 \) vào một trong hai phương trình, ta được \( y = 2 \).
Vậy nghiệm của hệ là \( (x, y) = (1, 2) \).
b) Để hệ phương trình có một nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn \( x^2 – 2x – y < 1 \), điều kiện là định thức của hệ không bằng 0:
\[
\Delta =
\begin{vmatrix}
1 & m \\
m & -1
\end{vmatrix}
= -1(1) – m(m) \neq 0
\]
Điều này xảy ra khi \( m \neq 1 \) và \( m \neq -1 \).
Câu 4:
a) Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì D và E là tiếp điểm của AB với đường tròn ngoại tiếp nên OD và OE là các bán kính của đường tròn và do đó OD=OE. Vì OB cũng là bán kính của đường tròn, suy ra O cách đều B, D, và E, điều này chứng minh B, D, E cùng thuộc đường tròn tâm O.
b) Gọi F là điểm chính giữa cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp. Đường kính CF tạo ra góc vuông tại A theo tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại A cắt đường tròn tại P và Q. Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, AP=AQ.
c) Vì AP=AQ và AO là đường trung trực của PQ, suy ra tam giác BOP cân tại O. Do đó, ∠BOP là góc vuông vì nó chắn nửa đường tròn đường kính BP.
d) AF cắt BC tại M và BD là tiếp tuyến của đường tròn, suy ra BD là phân giác của góc ABC do đó BD cũng là phân giác của góc ABM. Vì BD và FM là phân giác của cùng một góc, chúng trùng nhau, suy ra BD đi qua trung điểm M của BC.
Câu 5:
Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:
\[
\begin{align*}
(1^2 + 1^2 + 1^2) \left(\dfrac{3}{b + c – a} + \dfrac{4}{c + a – b} + \dfrac{5}{a + b – c}\right) &\ge (1 + 1 + 1)^2\\
\Leftrightarrow 3 \left(\dfrac{3}{b + c – a} + \dfrac{4}{c + a – b} + \dfrac{5}{a + b – c}\right) &\ge 9\\
\Leftrightarrow P &\ge 3
\end{align*}
\]
Dấu “=” xảy ra khi
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{c+a-b} = \frac{1}{a+b-c}
\]
Từ điều kiện
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{c+a-b}
\]
ta có:
\[ b + c – a = c + a – b \Leftrightarrow 2a = 2b \Leftrightarrow a = b. \]
Tương tự, từ điều kiện
\[
\frac{1}{b+c-a} = \frac{1}{a+b-c}
\]
ta có:
\[ a + b – c = b + c – a \Leftrightarrow 2c = 2a \Leftrightarrow c = a. \]
Do đó, a = b = c.
Bước 3: Thay a = b = c vào bất đẳng thức \(2c + b = abc\), ta được:
\[
2c + c = c^3 \Leftrightarrow c^3 – 3c = 0 \Leftrightarrow c(c – 1)(c + 1) = 0
\]
Vậy c = 0 hoặc c = 1 hoặc c = -1.
Bước 4: Trường hợp c = 0 không thoả mãn vì tam giác không thể có cạnh bằng 0.
Với c = 1, ta có a = b = 1.
Với c = -1, ta có a = b = -1.
Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của P là \( P = 3 \) khi \( a = b = c = 1 \) hoặc \( a = b = c = -1 \).
