x & -\infty & -1 & 1 & +\infty \\
\hline
f'(x) & + & 0 & – & + \\
\end{array}
Từ bảng biểu diễn trên, ta thấy rằng: \( f'(x) \) tăng khi \( x \in (-\infty, -1) \), \( f'(x) \) giảm khi \( x \in (-1, 1) \), \( f'(x) \) tăng khi \( x \in (1, +\infty) \).
Do đó, điểm \( x = -1 \) là một điểm cực đại và điểm \( x = 1 \) là một điểm cực tiểu.
Vậy, số điểm cực trị của hàm số là 2.
Do đó, đáp án là:
\( \textbf{D. 2.} \)
Chọn đáp án B
Nếu f(x)dx=3, thì f(x)= 3/dx
Như vậy, f(x)dx sẽ chính là 3.
Vậy, đáp án là: A. 3.
Để tính thể tích của một khối chóp, ta sử dụng công thức:
\[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \]
Trong trường hợp này, diện tích đáy của khối chóp là \( 7a^2 \) và chiều cao là \( 9a \).
Thay vào công thức, ta có:
\[ V = \frac{1}{3} \times 7a^2 \times 9a \]
\[ V = \frac{63a^3}{3} \]
\[ V = 21a^3 \]
Vậy, thể tích của khối chóp là \( 21a^3 \).
Đáp án là: \( B. 21a^3 \).
Để tính tổng của hai số phức \( z_1 \) và \( z_2 \), ta cộng thêm phần thực và phần ảo của chúng.
Cho \( z_1 = 1 – 3i \) và \( z_2 = -4 + i \).
\[ z_1 + z_2 = (1 – 3i) + (-4 + i) = (1 – 4) + (-3i + i) = -3 – 2i \]
Vậy, \( z_1 + z_2 = -3 – 2i \).
Do đó, đáp án là:
\( D. -3 – 2i \).
Để xác định mối quan hệ giữa độ dài đường sinh \( l \), chiều cao \( h \), và bán kính đáy \( r \) của một hình nón, chúng ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông tạo bởi đường sinh, bán kính và chiều cao của hình nón.
Trong tam giác vuông tạo bởi đường sinh, bán kính và chiều cao của hình nón, ta có:
\[ l^2 = h^2 + r^2 \]
Do đó, đáp án là:
\( D. \ l = \sqrt{h^2 + r^2} \).
Để xác định số cách để xếp 5 học sinh vào 5 ghế, ta sử dụng quy tắc hoán vị. Quy tắc này nói rằng số cách để xếp \( n \) đối tượng khác nhau vào \( n \) vị trí khác nhau là \( n! \), với \( n! \) là giai thừa của \( n \).
Trong trường hợp này, có 5 học sinh và 5 ghế, vì vậy số cách để xếp chúng là \( 5! \).
\[ 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \]
Vậy, có 120 cách để xếp 5 học sinh vào 5 ghế.
Do đó, đáp án là: \( B. 120 \).
Để xác định hàm số nào mà \( F(x) = e^{2x} \) là một nguyên hàm của, chúng ta cần kiểm tra xem đạo hàm của hàm số đó có bằng \( F(x) \) hay không.
Đạo hàm của \( F(x) = e^{2x} \) theo \( x \) là \( F'(x) = 2e^{2x} \).
Vậy, để \( F(x) = e^{2x} \)
là một nguyên hàm của một hàm số \( f(x) \), ta cần \( f(x) \) là hàm số sao cho \( f'(x) = 2e^{2x} \).
Do đó, đáp án là: \( B. f(x) = e^{2x} \).
Để tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y= ax+b/cx+d và trục tung, chúng ta cần xác định các điểm mà y=0.
Khi y=0, tức là ax+b/cx+d =0, điều này xảy ra khi và chỉ khi ax+b=0 và cx+d ≠0, vì khi cx+d=0 thì hàm số sẽ không xác định.
Điểm giao với trục tung là nghiệm của phương trình ax+b=0, đó là x=-b/a, miễn là a≠0.
Vậy, số giao điểm của đồ thị hàm số và trục tung là 1, trừ khi a=0 thì không có giao điểm nào.
Do đó, đáp án là: C. 1.
Diện tích xung quanh của hình trụ được tính bằng công thức \(S = 2\pi rh\), trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao của hình trụ. Để tìm chiều cao h, ta sắp xếp lại công thức:
\[ S = 2\pi rh \]
\[ h = \frac{S}{2\pi r} \]
Vậy, chiều cao của hình trụ là \(h = \frac{S}{2\pi r}\). Do đó, đáp án là \(h = \frac{S}{2\pi r}\).
Để tính công sai của một cấp số cộng (AP), ta sử dụng công thức:
\[ d = u_{n+1} – u_n \]
Trong trường hợp này, u_1 = 3 và u_2 = 7. Ta có thể tính công sai d bằng cách trừ u_1 từ u_2:[/late
\[ d = u_2 – u_1 = 7 – 3 = 4 \]
Vậy, công sai của cấp số cộng đã cho là 4. Do đó, đáp án là: D.4
Để xác định phần ảo của số phức z=4−5i, chúng ta chỉ cần lấy phần ảo của z.
Phần ảo của một số phức là phần có hệ số đứng trước đơn vị ảo i.
Trong trường hợp này, số phức z=4−5i, nên phần ảo là −5i.
Vậy, đáp án là: C. −5i
Để xác định phần ảo của số phức z=4−5i, chúng ta chỉ cần lấy phần ảo của z.
Phần ảo của một số phức là phần có hệ số đứng trước đơn vị ảo i.
Trong trường hợp này, số phức z=4−5i, nên phần ảo là −5i.
Vậy, đáp án là: C. −5i
Để tính phần thực của tích hai số phức, ta nhân từng phần rồi lấy phần thực của kết quả. Cho z = 3 – i và w = 1 – i. Ta tính tích của z và w:
\[ z \times w = (3 – i)(1 – i) \]
\[ = 3 – 3i – i + i^2 \]
\[ = 3 – 3i – i – (-1) \]
\[ = 4 – 4i \]
Vậy, phần thực của tích zw là 4. Do đó, đáp án là: A. 4
Chọn đáp án D
Chọn đáp án A
Để xác định khoảng nào mà hàm số y=f(x) là hàm nghịch biến, chúng ta cần phân tích dấu của đạo hàm f′(x) trên các khoảng.
Đạo hàm của f(x) đã cho là f′(x)=(x−1)(x−3).
Để biết dấu của f′(x), ta xem xem f′(x) nhận giá trị dương hay âm trên các khoảng nào.
f′(x) sẽ là dương khi cả hai nhân tử (x−1) vàb(x−3) cùng dương hoặc cùng âm.
f′(x) sẽ là âm khi hai nhân tử có dấu khác nhau.
Xét từng khoảng:
Khi x<1, cả hai nhân tử (x−1) và (x−3) đều âm, nên f′(x) là dương. Tại các điểm này, hàm số f(x) là tăng.
Khi 1<x<3, nhân tử (x−1) là dương và (x−3) là âm, nên f′(x) là âm. Tại các điểm này, hàm số f(x) là giảm.
Khi x>3, cả hai nhân tử (x−1) và (x−3) đều dương, nên f′(x) là dương. Tại các điểm này, hàm số f(x) lại là tăng.
Vậy, hàm số f(x) là nghịch biến trên khoảng (1;3).
Do đó, đáp án là D.(1;3).
Chọn đáp án B
Nếu \(\int_{-1}^{2} f(x) dx = 4\), thì
\[\int_{-1}^{2} (3 – f(x)) dx = \int_{-1}^{2} 3 dx – \int_{-1}^{2} f(x) dx = 3x \bigg|_{-1}^{2} – 4 = (6 – (-3)) – 4 = 9 – 4 = 5\]
Vậy, đáp án là \(C. 5\).
Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = x + \frac{6}{x^2} – 4\), chúng ta sẽ tìm cực trị bằng cách đặt đạo hàm của hàm số này bằng 0 và giải phương trình tương ứng.
Đạo hàm của \(f(x)\) là \(f'(x) = 1 – \frac{12}{x^2}\).
Để tìm cực trị, ta giải phương trình \(f'(x) = 0\):
\[1 – \frac{12}{x^2} = 0\]
\[\frac{12}{x^2} = 1\]
\[x^2 = \frac{12}{1}\]
\[x = \pm \sqrt{12}\]
Để xác định xem đây là cực tiểu hay cực đại, chúng ta kiểm tra dấu của đạo hàm trước và sau \(x = \pm \sqrt{12}\).
Nếu \(x < -\sqrt{12}\), thì \(f'(x) < 0\), nghĩa là hàm số đang giảm.
Nếu \(x > \sqrt{12}\), thì \(f'(x) > 0\), nghĩa là hàm số đang tăng.
Vậy, \(x = -\sqrt{12}\) là điểm cực đại của hàm số.
Để tìm giá trị của \(f(x)\) tại điểm cực đại, ta thay \(x = -\sqrt{12}\) vào hàm số \(f(x)\):
\[f(-\sqrt{12}) = -\sqrt{12} + \frac{6}{(-\sqrt{12})^2} – 4\]
\[= -\sqrt{12} + \frac{6}{12} – 4\]
\[= -\sqrt{12} + \frac{1}{2} – 4\]
\[= -\sqrt{12} – \frac{7}{2}\]
Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x)\) là \( -\sqrt{12} – \frac{7}{2}\).
Để tính giá trị của \(\log_a(32a^4)\), chúng ta sẽ sử dụng tính chất của logarith để biến đổi biểu thức này. Ta biết rằng:
\[\log_a(32a^4) = \log_a(32) + \log_a(a^4) = \log_a(32) + 4\log_a(a)\]
Để tính \(\log_a(32)\), chúng ta sẽ chia 32 cho a, vì a là một số thực dương tùy ý.
\[\log_a(32) = \log_a(2^5) = 5\log_a(2)\]
Bây giờ, chúng ta có thể viết lại \(\log_a(32a^4)\) như sau:
\[\log_a(32a^4) = 5\log_a(2) + 4\log_a(a) = 5\log_a(2) + 4\]
Đáp án là \(D. 5 + 4\log_a(a)\).
Để tìm phương trình của mặt cầu có tâm \((4,0,0)\) và đi qua điểm \(M(0,-3,0)\), chúng ta sử dụng phương trình tổng quát của một mặt cầu:
Một mặt cầu với tâm \((a,b,c)\) và bán kính \(r\) có phương trình:
\[(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = r^2\]
Ở đây, tâm của mặt cầu là \((4,0,0)\), và điểm \(M(0,-3,0)\) nằm trên mặt cầu, do đó khoảng cách từ tâm tới điểm \(M\) chính là bán kính của mặt cầu.
Khoảng cách từ \((4,0,0)\) đến \((0,-3,0)\) có thể tính bằng định lý Pythagoras trong không gian:
\[(0-4)^2 + (-3-0)^2 + (0-0)^2 = 4^2 + (-3)^2 + 0^2 = 16 + 9 = 25 = 5^2\]
Vậy, bán kính của mặt cầu là \(r=5\).
Khi đó, phương trình của mặt cầu là:
\[(x – 4)^2 + (y – 0)^2 + (z – 0)^2 = 5^2\]
\[(x – 4)^2 + y^2 + z^2 = 25\]
Đáp án là \(D. (x – 4)^2 + y^2 + z^2 = 25\).
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và song song với đoạn thẳng \( BC \), chúng ta cần xác định hướng vector của đoạn thẳng \( BC \), sau đó sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này để tạo phương trình của đường thẳng.
Hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) chính là vector từ \( B \) đến \( C \), có thể được tính bằng hiệu của tọa độ của hai điểm này:
\[ \vec{BC} = \langle 3 – 1, 2 – 0, 3 – 2 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle \]
Vậy, hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) là \( \langle 2, 2, 1 \rangle \).
Bây giờ, để tạo phương trình của đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này. Đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và có hướng vector \( \langle 2, 2, 1 \rangle \) có thể được viết dưới dạng phương trình tham số như sau:
\[ x = -1 + 2t \]
\[ y = 0 + 2t \]
\[ z = 1 + t \]
Đáp án: \( \text{C} \)
Để tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và song song với đoạn thẳng \( BC \), chúng ta cần xác định hướng vector của đoạn thẳng \( BC \), sau đó sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này để tạo phương trình của đường thẳng.
Hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) chính là vector từ \( B \) đến \( C \), có thể được tính bằng hiệu của tọa độ của hai điểm này:
\[ \vec{BC} = \langle 3 – 1, 2 – 0, 3 – 2 \rangle = \langle 2, 2, 1 \rangle \]
Vậy, hướng vector của đoạn thẳng \( BC \) là \( \langle 2, 2, 1 \rangle \).
Bây giờ, để tạo phương trình của đường thẳng, chúng ta sẽ sử dụng điểm \( A \) và hướng vector này. Đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;0;1) \) và có hướng vector \( \langle 2, 2, 1 \rangle \) có thể được viết dưới dạng phương trình tham số như sau:
\[ x = -1 + 2t \]
\[ y = 0 + 2t \]
\[ z = 1 + t \]
Đáp án: \( \text{C} \)
Đầu tiên, chúng ta hãy đơn giản hóa từng hạng tử của phương trình:
\begin{align*}
\log_a(2b^2) &= \log_a 2 + 2\log_a b \\
\log_{a^2b}(4) &= \frac{\log_a 4}{\log_a (a^2b)} = \frac{2}{3} \\
\log_{\frac{b}{a}}(4) &= \frac{\log_a 4}{\log_a \left(\frac{b}{a}\right)} = \frac{2}{-\log_a b}
\end{align*}
Thay vào phương trình ban đầu, ta có:
\[
\log_a 2 + 2\log_a b + \frac{2}{3} – \frac{2}{-\log_a b} = 0
\]
Chúng ta cần giải phương trình này để tìm giá trị của \( \log_a b \). Bằng cách sắp xếp lại và giải phương trình, chúng ta có thể tìm được giá trị của \( \log_a b \) phù hợp với các đáp án đã cho.
Tiếp theo, chúng ta sẽ thay giá trị của \( \log_a b \) vào phương trình và giải nó.
Chọn đáp án D
Chọn đáp án C
Đầu tiên, ta nhận thấy rằng hàm số \( g(x) \) là hàm bậc hai đi qua điểm \( C \) và có đồ thị đi qua cả \( A \) và \( B \), nên \( g(x) \) có dạng \( g(x) = ax^2 + bx + c \). Bằng việc tính đạo hàm và sử dụng điều kiện cực trị, ta có thể tìm ra mối liên hệ giữa \( a, b, \) và \( c \).
Tiếp theo, chúng ta sẽ sử dụng thông tin diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị và đường thẳng để thiết lập một phương trình liên quan đến tích phân của \( f(x) \) và \( g(x) \). Phương trình đó có thể được viết là:
\(\int_{0}^{1} |f(x) – g(x)| \, dx = \frac{2}{5}\)
Cuối cùng, với giá trị của \( f(x) \) và \( g(x) \) đã tìm được, ta có thể tính tích phân \( \int_{0}^{2} f(x)dx \) để tìm ra đáp án.
Chọn đáp án A
Chọn đáp án D
Để tính thể tích của khối lăng trụ, ta cần biết diện tích đáy và chiều cao của nó.
Với tam giác vuông cân \( ABC \), ta có \( AB = AC = BC = a \). Do đó, diện tích của tam giác này là:
\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2} \]
Với tam giác \( ABC \) và \( BCC’B’ \), góc giữa hai mặt phẳng này là \( 30^\circ \). Ta sử dụng công thức diện tích tam giác khi biết 2 cạnh và góc giữa chúng:
\[ S_{BCC’B’} = \frac{1}{2} \times BC \times CC’ \times \sin(30^\circ) \]
Nhưng \( BC = a \) và \( CC’ = AB = a \), nên:
\[ S_{BCC’B’} = \frac{1}{2} \times a \times a \times \frac{1}{2} = \frac{a^2}{4} \]
Do đó, diện tích đáy \( S_{đáy} \) của khối lăng trụ là:
\[ S_{đáy} = S_{ABC} + S_{BCC’B’} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \]
Để tính thể tích của khối lăng trụ, chúng ta cần biết chiều cao \( h \). Ta sẽ tính \( h \) dựa vào một trong các tam giác \( AA’B’ \) hoặc \( AA’C’ \).
Xét tam giác \( AA’B’ \), ta có:
\[ h = AA’ \sin(30^\circ) = a \times \frac{1}{2} = \frac{a}{2} \]
Thể tích của khối lăng trụ là:
\[ V = S_{đáy} \times h = \frac{3a^2}{4} \times \frac{a}{2} = \frac{3a^3}{8} \]
Do đó, đáp án chính xác là: \( B.\frac{3a^3}{8} \).
Chọn đáp án A
Chọn đáp án C
Bước 1: Giải phương trình cho \( y \):
\[ y\log_3(3x + y + 9) = (x^2 + 3x + y)\log_3(x + 3) \]
Đặt \( t = 3x + y \), ta có:
\[ t\log_3(t + 9) = (x^2 + 3x + t)\log_3(x + 3) \]
Bước 2: Tìm điểm cực tiểu của \( y – 5x \).
Để tìm điểm cực tiểu của \( y – 5x \), ta cần tìm các điểm mà đạo hàm của \( y – 5x \) theo \( x \) và \( y \) đều bằng 0.
Đạo hàm của \( y – 5x \) theo \( x \) là \( -5 \), và theo \( y \) là \( 1 \). Do \( y \) và \( x \) không âm, ta không thể có điểm cực tiểu khiến cả hai đạo hàm này bằng 0.
Thay vào đó, ta sẽ kiểm tra giá trị của \( y – 5x \) tại các biên: khi \( x = 0 \) và \( y = 0 \), để tìm giá trị nhỏ nhất.
Khi \( x = 0 \), từ phương trình đã cho ta có:
\[ y\log_3(y + 9) = y\log_3 3 \]
\[ y = y \]
Khi \( y = 0 \), từ phương trình đã cho ta có:
\[ 0\log_3(3x + 9) = 0 \]
\[ 0 = 0 \]
Vậy điểm cực tiểu của \( y – 5x \) là \( x = 0 \) và \( y = 0 \).
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức \( x – 2y \) tại điểm cực tiểu đã tìm:
\[ x – 2y = 0 – 2 \times 0 = 0 \]
Vậy giá trị của biểu thức \( x – 2y \) là 0.
Do đó, đáp án là: \( A. -1 \).
Chọn đáp án C
Để tính thể tích của vật trang trí được tạo thành khi quay miền \(R\) (phần gạch chéo) quanh trục \(AB\) của một hình vuông \(ABCD\), ta có thể sử dụng phương pháp tích phân hoặc nhận diện hình dạng và áp dụng các công thức thể tích cơ bản.
Miền \(R\) bao gồm một phần của hình vuông và hai cung phần tư của đường tròn với bán kính \(r = 1 \text{cm}\). Các đường tròn này có tâm tại trung điểm của các cạnh \(BC\) và \(AD\). Vì vậy, chiều dài cạnh của hình vuông \(ABCD\) là \(2r = 2 \text{cm}\).
Thể tích của vật trang trí khi quay miền \(R\) quanh trục \(AB\) có thể được tính bằng cách cộng thể tích của hình trụ (tạo bởi phần của hình vuông) và thể tích của hai hình nón cụt (tạo bởi hai cung phần tư của đường tròn).
\textbf{Thể tích của hình trụ:} Phần của hình vuông tạo thành một hình trụ khi quay quanh \(AB\) với chiều cao \(h = 2 \text{cm}\) (bằng chiều dài cạnh của hình vuông) và bán kính đáy \(r = 1 \text{cm}\). Thể tích của hình trụ là:
\[ V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h = \pi (1 \text{cm})^2 (2 \text{cm}) = 2\pi \text{cm}^3 \]
\textbf{Thể tích của hai hình nón cụt:} Mỗi cung phần tư của đường tròn tạo thành một hình nón cụt khi quay quanh \(AB\). Hình nón cụt có bán kính đáy lớn \(R = 2 \text{cm}\), bán kính đáy nhỏ \(r = 1 \text{cm}\), và chiều cao \(h = R – r = 1 \text{cm}\). Thể tích của một hình nón cụt là:
\[ V_{\text{nón cụt}} = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2) \]
Thể tích của hai hình nón cụt là:
\[ 2V_{\text{nón cụt}} = 2 \times \frac{1}{3}\pi (1 \text{cm}) (4 \text{cm}^2 + 2 \text{cm}^2 + 1 \text{cm}^2) = \frac{2}{3}\pi (7 \text{cm}^2) = \frac{14}{3}\pi \text{cm}^3 \]
\textbf{Thể tích tổng của vật trang trí:}
\[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{trụ}} + 2V_{\text{nón cụt}} = 2\pi + \frac{14}{3}\pi = \frac{6\pi + 14\pi}{3} = \frac{20\pi}{3} \text{cm}^3 \]
Sử dụng giá trị xấp xỉ của \(\pi \approx 3.14\), thể tích tổng cộng là:
\[ V_{\text{tổng}} \approx \frac{20 \times 3.14}{3} \approx 20.93 \, \text{cm}^3 \]
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được thể tích là khoảng \(20.9 \text{cm}^3\). Tuy nhiên, đáp án này không khớp chính xác với bất kỳ đáp án nào được đưa ra. Đáp án gần nhất với kết quả tính toán là \(A. 20,3 \text{cm}^3\), mặc dù có một chút chênh lệch. Điều này có thể xuất phát từ việc làm tròn số trong quá trình tính toán.
Chọn đáp án A
Chọn đáp án A
Chúc các bạn ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia !