Lý thuyết chia đa thức với một biến đã sắp xếp - Toán lớp 8

Trong chương trình Toán lớp 8, chúng ta đã được học về phép chia đa thức với một biến đã sắp xếp. Đây là một phép toán quan trọng giúp ta giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau như rút gọn biểu thức, giải phương trình, bất phương trình,…

Định nghĩa chia đa thức với một biến đã sắp xếp

Cho hai đa thức A và B (B ≠ 0) cùng một biến, ta có thể thực hiện phép chia A cho B để tìm ra đa thức Q (thương) và đa thức R (dư) sao cho:

A = B.Q + R

trong đó:

• Bậc của R nhỏ hơn bậc của B.
• Nếu R = 0,

 Quy tắc chia đa thức với một biến đã sắp xếp

Chia từng hạng tử của đa thức:

Bắt đầu bằng việc chia hệ số của hạng tử đầu tiên của đa thức cho hệ số của đơn thức.

Sau đó, chia các biến trong hạng tử theo thứ tự từ cao đến thấp.

Nhân đơn thức chia với kết quả phép chia:

Sau khi tìm được kết quả phép chia của hạng tử đầu tiên, nhân đơn thức chia với kết quả này để thu được một đa thức mới.

Trừ kết quả từ bước 2 ra khỏi đa thức ban đầu:

Trừ đa thức thu được từ bước 2 ra khỏi đa thức ban đầu để thu được một đa thức mới, gọi là phần dư.

Tiếp tục quá trình cho đến khi không còn phần dư nào hoặc phần dư có bậc thấp hơn bậc của đơn thức chia.

Chia đa thức A = \(3x^2 + 2x – 1\) cho đơn thức B = x – 1.

Giải:

Bước 1: Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến:

A = \(3x^2 + 2x – 1\)

B = x – 1

Bước 2: Chia hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của A cho hệ số của B:

\(\frac{3x^2}{x – 1} = 3x\)

Bước 3: Lấy kết quả thu được nhân với B và trừ đi hạng tử vừa chia của A:

\(3x(x – 1) = 3x^2 – 3x\)

\(A – 3x(x – 1) = 5x – 1\)

Bước 4: Tiếp tục chia 5x – 1 cho x – 1:

\(\frac{5x – 1}{x – 1} = 5 \implies 5x – 1 = 5(x – 1) \implies 5x – 1 – 5x + 5 = 4 \text{ (với } x \neq 1 \text{)}\)
Bước 5: Kết quả thu được là thương của phép chia:

Q = 3x + 5

Dư: R = 4

Vậy: A = B.Q + R = (x – 1)(3x + 5) + 4.

Tính chất chia đa thức với một biến đã sắp xếp

Tính chất 1:

Khi chia đa thức A cho đơn thức B (B ≠ 0), ta được:

A = B.Q + R

trong đó:

• Q là thương của phép chia.
• R là dư của phép chia.
• Bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

Tính chất 2:

Nếu A chia hết cho B (B ≠ 0) thì:

• R = 0.
• A = B.Q.

Tính chất 3:

Với hai đa thức A và B (B ≠ 0), ta có:

• A + B chia hết cho C thì A và B chia hết cho C.
• A – B chia hết cho C thì A và B chia hết cho C.
• A chia hết cho B và B chia hết cho C thì A chia hết cho C.

Ví dụ:

1. a) Chia đa thức A = \(3x^2 + 2x – 1\) cho đơn thức B = x – 1.

Giải:

A = B.Q + R = (x – 1)(3x + 5) + 4

Vậy:

• Q = 3x + 5.
• R = 4.

1. b) Chứng minh rằng đa thức \(2x^2 + 5x + 1\) chia hết cho đa thức x + 1.

Giải:

Ta có:

\(2x^2 + 5x + 1 = (x + 1)(2x + 4)\)

Vậy: \(2x^2 + 5x + 1\) chia hết cho x + 1.

Qua bài học này, các em đã được học cách thực hiện phép chia đa thức với một biến đã sắp xếp. Hy vọng các em đã nắm vững kiến thức và có thể áp dụng vào giải các bài tập.