Tổng hợp kiến thức tính chất chia hết của một tổng

Tính chất chia hết của một tổng là một trong những kiến thức cơ bản và quan trọng nhất trong chương trình Toán lớp 6. Việc nắm vững tính chất chia hết của một tổng sẽ giúp học sinh giải các bài toán tính toán một cách chính xác và hiệu quả.

Khái niệm tính chất chia hết của một tổng

Tính chất chia hết của một tổng:là quy tắc giúp ta kiểm tra xem một tổng có chia hết cho một số nào đó hay không dựa vào tính chất chia hết của từng số hạng trong tổng.

Quy tắc tính chất chia hết của một tổng

Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó

Ví dụ:

• 12 + 18 + 24 chia hết cho 6 vì 12 chia hết cho 6, 18 chia hết cho 6 và 24 chia hết cho 6.
• 5 + 10 + 15 + 20 chia hết cho 5 vì 5 chia hết cho 5, 10 chia hết cho 5, 15 chia hết cho 5 và 20 chia hết cho 5.

Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số, còn các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng đó không chia hết cho số đó

Ví dụ:

• 12 + 18 + 25 không chia hết cho 6 vì 12 chia hết cho 6, 18 chia hết cho 6 nhưng 25 không chia hết cho 6.
• 5 + 10 + 15 + 21 không chia hết cho 5 vì 5 chia hết cho 5, 10 chia hết cho 5, 15 chia hết cho 5 nhưng 21 không chia hết cho 5.

Các dạng bài tập về tính chất chia hết của một tổng

Xác định xem một tổng chia hết cho một số nào đó hay không

Ví dụ:

• Xác định xem 12 + 18 + 24 có chia hết cho 6 hay không.
• Xác định xem 5 x 7 + 7 x 11 có chia hết cho 7 hay không.

Tìm số hạng còn lại của một tổng biết rằng tổng đó chia hết cho một số nào đó.

Ví dụ:

• Tìm số a, biết rằng 12 + 15 + a chia hết cho 3.
• Tìm số b, biết rằng 5 x 7 + 7 x 11 + b chia hết cho 7.

Chứng minh các bất đẳng thức bằng tính chất chia hết.

Ví dụ:

• Chứng minh rằng \(a^2 + b^2\) chia hết cho 2 với mọi a, b thuộc Z.
• Chứng minh rằng \(a^3 + b^3\) chia hết cho 6 với mọi a, b thuộc Z.

Tìm số dư của một phép chia bằng tính chất chia hết.

Ví dụ:

• Tìm số dư của phép chia 123456789 cho 11.
• Tìm số dư của phép chia \(2023^{2024}\) cho 5.

Bài tập có lời giải chi tiết

Bài 1: Xác định xem 12 + 18 + 24 có chia hết cho 6 hay không.

Lời giải:

Vì 12 chia hết cho 6, 18 chia hết cho 6 và 24 chia hết cho 6 nên theo tính chất chia hết của một tổng, 12 + 18 + 24 chia hết cho 6.

Vậy 12 + 18 + 24 chia hết cho 6.

Bài 2: Tìm số a, biết rằng 12 + 15 + a chia hết cho 3.

Lời giải:

Vì 12 chia hết cho 3 và 15 chia hết cho 3 nên để 12 + 15 + a chia hết cho 3 thì a cũng phải chia hết cho 3.

Vậy a = 3, 6, 9, 12, …

Bài 3: Chứng minh rằng \(a^2 + b^2\) chia hết cho 2 với mọi a, b thuộc Z.

Lời giải:

Ta có: \(a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) – 2ab = (a + b)^2 – 2ab\)

Vì a, b thuộc Z nên \((a + b)^2\) thuộc Z.

Lại có 2ab là số chẵn nên \( (a + b)^2 – 2ab\) là số chẵn.

Vậy \(a^2 + b^2\) chia hết cho 2 với mọi a, b thuộc Z

Bài 4: Giải bài toán:

Tìm số a, biết rằng 12 + 15 + a chia hết cho 3.

Bài giải:

Vì 12 chia hết cho 3 và 15 chia hết cho 3 nên để 12 + 15 + a chia hết cho 3 thì a cũng phải chia hết cho 3.

Vậy a = 3, 6, 9, 12, …

Bài 5: Chứng minh bất đẳng thức:

Chứng minh rằng \(a^2 + b^2\) chia hết cho 2 với mọi a, b thuộc Z.

Bài giải:

Ta có:

\(a^2 + b^2 = (a^2 + 2ab + b^2) – 2ab = (a + b)^2 – 2ab\)

Vì a, b thuộc Z nên \((a + b)^2\) thuộc Z.

Lại có 2ab là số chẵn nên \((a + b)^2 – 2ab\) là số chẵn.

Vậy \(a^2 + b^2\) chia hết cho 2 với mọi a, b thuộc Z.

Bài 6: Tìm số dư của một phép chia:

Tìm số dư của phép chia 123456789 cho 11.

Bài giải:

Ta có:

123456789 = (1 + 2 + 3 + … + 9) + (10 + 20 + 30 + … + 90) + (100 + 200 + 300 + … + 900)

= 45 x (1 + 2 + 3 + … + 9) + 45 x (10 + 20 + 30 + … + 90) + 45 x (100 + 200 + 300 + … + 900)

Vì 45 chia hết cho 11 nên 123456789 chia hết cho 11.

Vậy số dư của phép chia 123456789 cho 11 là 0.

Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt môn Toán và giải quyết các bài toán tính toán một cách dễ dàng.

Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn