Tứ giác nội tiếp là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 9, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này sẽ trình bày khái niệm tứ giác nội tiếp, các tính chất và dấu hiệu nhận biết của nó, cũng như một số ví dụ áp dụng.
Định nghĩa tứ giác nội tiếp
Khái niệm
Tứ giác nội tiếp là một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn. Điều này có nghĩa là các đỉnh của tứ giác nằm trên đường tròn, và đường tròn đó được gọi là “đường tròn nội tiếp” của tứ giác. Tính chất chính của tứ giác nội tiếp là các góc của tứ giác đều được hình thành bởi hai cạnh kề của tứ giác và hai cung tương ứng trên đường tròn.
Định lí
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng của hai góc ở đỉnh đối diện bằng \(180^\circ\)
Công thức: Nếu ABCD là một tứ giác nội tiếp, tức là các đỉnh A,B,C,D nằm trên cùng một đường tròn, thì:
\(\angle A\)+\(\angle C\)=\(180^\circ\)
\(\angle B\)+\(\angle D\)=\(180^\circ\)
Định lí đảo
Nếu tứ giác ABCD có tổng của hai góc ở đỉnh đối diện bằng \(180^\circ\), tức là
\(\angle A\)+\(\angle C\)=\(180^\circ\) và \(\angle B\)+\(\angle D\)=\(180^\circ\) thì tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.
Công thức: Nếu tứ giác ABCD có \(\angle A\)+\(\angle C\)=\(180^\circ\) và \(\angle B\)+\(\angle D\)=\(180^\circ\) thì ABCD là tứ giác nội tiếp, có nghĩa là các đỉnh A,B,C,D nằm trên cùng một đường tròn.
Định lí đảo tứ giác nội tiếp cho phép chúng ta dùng tính chất của tứ giác để chứng minh rằng một tứ giác nào đó là tứ giác nội tiếp nếu tổng của các góc ở đỉnh đối diện bằng \(180^\circ\), và ngược lại, nếu một tứ giác nào đó là tứ giác nội tiếp thì tổng của các góc ở đỉnh đối diện của nó bằng \(180^\circ\)
Điều này làm cho định lí này trở thành một công cụ hữu ích trong việc chứng minh tính chất của các tứ giác.
Tính chất về tứ giác nội tiếp
Các tính chất về tứ giác nội tiếp là các đặc điểm quan trọng mà tứ giác nội tiếp thường có. Dưới đây là một số tính chất cơ bản:
Tổng các góc ở đỉnh đối diện:
Trong một tứ giác nội tiếp ABCD, tổng của hai góc ở đỉnh đối diện bằng \(180^\circ\)
Nói cách khác:
\(\angle A\)+\(\angle C\)=\(180^\circ\)
\(\angle B\)+\(\angle D\)=\(180^\circ\)
Đường phân giác góc:
- Đường phân giác của một góc trong tứ giác nội tiếp là đường thẳng đi qua đỉnh của góc đó và chia góc đó thành hai phần bằng nhau.
- Đường phân giác của một góc cắt nhau tại trung điểm của các cạnh đối diện.
Tính chất khác:
- Đường chéo của tứ giác nội tiếp là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của tứ giác.
- Tứ giác nội tiếp có một đường tròn nội tiếp, gọi là “đường tròn nội tiếp” của tứ giác.
Các tính chất này cung cấp cho chúng ta thông tin cần thiết để giải các bài toán hình học liên quan đến tứ giác nội tiếp. Đồng thời, chúng cũng là cơ sở cho việc chứng minh các mệnh đề và định lý trong hình học đường tròn và tứ giác.
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
Có nhiều dấu hiệu để nhận biết một tứ giác có nội tiếp được trong đường tròn hay không. Dưới đây là một số dấu hiệu phổ biến:
Dấu hiệu dựa vào tổng số đo hai góc đối:
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\) thì nội tiếp được trong một đường tròn.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD có \(\angle A\)+\(\angle C\) = \(180^\circ\).
⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
Dấu hiệu dựa vào góc nội tiếp và góc kề bù:
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O).
⇒ \(\angle BAC\)=\(\angle BAD\)
Góc nội tiếp và góc kề bù cùng chắn một cung thì bù nhau.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O).
⇒ \(\angle BAC\)+\(\angle BAD\) = \(180^\circ\)
Dấu hiệu dựa vào hai đỉnh kề nhau:
Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới cùng một góc thì nội tiếp được trong một đường tròn.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD, hai đỉnh B và C cùng nhìn cạnh AD dưới cùng một góc α.
⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
Dấu hiệu dựa vào điểm cách đều bốn đỉnh:
Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có thể xác định được) thì nội tiếp được trong một đường tròn. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
Ví dụ:
Cho tứ giác ABCD có O là điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D.
⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn (O).
Chú ý:
- Các dấu hiệu trên là các điều kiện cần và đủ để tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
- Có thể sử dụng kết hợp nhiều dấu hiệu để nhận biết tứ giác nội tiếp.
Các dạng bài tập liên quan đến tứ giác nội tiếp
Ví dụ1:
Cho tứ giác ABCD, biết \(\angle A\)+\(\angle C\) = \(180^\circ\). Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn.
Giải:
Ta có: \(\angle A\)+\(\angle C\) = \(180^\circ\)
⇒ Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn (đpcm).
Ví dụ2:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O), chứng minh rằng:
- \(\angle BAC\)=\(\angle BAD\)
- \(\angle BAC\)+\(\angle BAD\) = \(180^\circ\)
Giải:
Ta có: \(\angle BAC\) và \(\angle BAD\) cùng chắn cung \(\stackrel{\frown}{BC}\)
⇒ \(\angle BAC\)=\(\angle BAD\) (góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Ta có: \(\angle BAC\) và \(\angle BCD\) là hai góc kề bù
⇒ \(\angle BAC\)+\(\angle BCD\) = \(180^\circ\)
Như vậy, bài viết đã trình bày một số kiến thức cơ bản về tứ giác nội tiếp. Hiểu rõ khái niệm, tính chất và dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả hơn.
