\(\angle MOA = \angle MOB \quad (\text{cmt})\)
\(OM \text{ là cạnh chung}\)
Vậy hai tam giác AOM và BOM bằng nhau (c.g.c)
Suy ra MA = MB (hai cạnh tương ứng)
Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến:
Ta có:
\(\angle AMB = \angle AOM + \angle BOM \quad (\text{góc kề bù})\) \(\text{Do hai tam giác } \triangle AOM \text{ và } \triangle BOM \text{ bằng nhau}\) \(\angle AOM = \angle BOM\)Do đó,tia OM là tia phân giác của góc AMB.
Tia được kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm:
Ta có:
\(\angle AOB = \angle AOM + \angle MOB \quad (\text{góc kề bù})\) \(\text{Do hai tam giác } \triangle AOM \text{ và } \triangle BOM \text{ bằng nhau}\) \(\angle AOM = \angle BOM\) \(\text{Do đó, tia } OM \text{ là tia phân giác của } \angle AOB\)Hệ quả:
Đường tròn nội tiếp tam giác là một đường tròn được vẽ sao cho tất cả các đỉnh của tam giác nằm trên đường tròn này. Trong một tam giác, nếu có một đường tròn đi qua cả ba đỉnh của tam giác đó, thì đường tròn đó được gọi là đường tròn nội tiếp tam giác.
Điều kiện:
Tâm đường tròn nội tiếp:
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác.
Bán kính đường tròn nội tiếp:
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính theo công thức: \(r = \frac{S}{p}\)
với: r là bán kính đường tròn nội tiếp
S là diện tích tam giác
p là nửa chu vi tam giác
Tính chất:
Đường tròn bàng tiếp tam giác là một đường tròn được vẽ sao cho nó tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác từ bên trong. Điểm tiếp xúc của đường tròn với mỗi cạnh tam giác được gọi là điểm tiếp trên cạnh đó.
Tâm đường tròn bàng tiếp:
Bán kính đường tròn bàng tiếp:
Bán kính đường tròn bàng tiếp được tính theo công thức:
\(r = \frac{s}{s – a}\)với:
Tính chất:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp tam giác ABC.
Giải:
Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = 7.5 \, \text{cm}\)
Diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \sqrt{7.5(7.5-4)(7.5-5)(7.5-6)} = 10\sqrt{3} \, \text{cm}^2
\)
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:\(r = \frac{S}{p} = \frac{10\sqrt{3}}{7.5} = \frac{4\sqrt{3}}{5} \, \text{cm}\)
Bán kính đường tròn bàng tiếp ứng với cạnh BC là: r = \(\frac{s}{s – BC}\) = \(\frac{7.5}{7.5 – 6}\) = 15 cm
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có AB = 4 cm, AC = 5 cm, BC = 6 cm. Chứng minh rằng ba đường phân giác trong của tam giác ABC đồng quy.
Giải:
Gọi I là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
Ta có: AI là tia phân giác của \(\angle A\)
BI là tia phân giác của \(\angle B\)
CI là tia phân giác của \(\angle C\)
Do đó, AI, BI, CI là ba đường phân giác trong của tam giác ABC.
Theo định lý phân giác trong, ta có:
\(\frac{AI}{IB} = \frac{AC}{BC}\) \(\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}\) \(\frac{CI}{IA} = \frac{BC}{AB}\)Nhân vế theo vế ba đẳng thức trên, ta có:
\(\left( \frac{AI}{IB} \right) \left( \frac{BI}{IC} \right) \left( \frac{CI}{IA} \right) = \left( \frac{AC}{BC} \right) \left( \frac{AB}{AC} \right) \left( \frac{BC}{AB} \right)\)Suy ra: \(\frac{AI}{IA} = 1\)
Vậy ba đường phân giác trong AI, BI, CI đồng quy tại điểm I.
Tóm lại tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau không chỉ là một đề tài hấp dẫn trong hình học mà còn mang lại những ứng dụng quan trọng trong thực tế. Việc hiểu biết sâu hơn về cách mà hai đường tiếp tuyến tương tác với nhau giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các bài toán phức tạp và áp dụng kiến thức vào các lĩnh vực như thiết kế, xây dựng và công nghệ.
Đồng thời, việc khám phá và nghiên cứu về tính chất này cũng mở ra nhiều hướng đi mới trong nghiên cứu và phát triển trong tương lai.