Công thức tính thể tích khối đa diện và bài tập có lời giải chi tiết

Thể tích khối đa diện là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Việc nắm vững khái niệm này và các công thức tính thể tích của các khối đa diện cơ bản là điều kiện tiên quyết để giải quyết các dạng bài tập liên quan đến thể tích khối đa diện.

Khái niệm thể tích khối đa diện

Thể tích khối đa diện là phần không gian giới hạn bởi các mặt của khối đa diện đó.

Các loại khối đa diện

Lăng trụ: là khối đa diện được giới hạn bởi hai mặt phẳng song song (gọi là hai đáy) và các mặt phẳng bên.

Chóp: là khối đa diện được giới hạn bởi một mặt phẳng (gọi là đáy) và các mặt phẳng bên (là những tam giác chung đỉnh).

Hình hộp: là lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình chóp đều: là chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Công thức tính thể tích

Hình chóp

Công thức: \(V = \frac{1}{3} * Bh\)

Trong đó:

V là thể tích hình chóp

B là diện tích đáy

h là chiều cao

Lăng trụ

Công thức: \(V=Bh\)

Trong đó:

V là thể tích lăng trụ

B là diện tích đáy

h là chiều cao

Hình hộp chữ nhật

Công thức: \(V=abc\)

Trong đó:

V là thể tích hình hộp chữ nhật

a, b, c là độ dài ba cạnh

Hình cầu

Công thức: \(V = \frac{4}{3} * πr^3\)

Trong đó:

V là thể tích hình cầu

R là bán kính

Bài tập tham khảo có lời giải về thể tích khối đa diện

Bài 1

Cho hình chóp tứ giác đều ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Tính thể tích của hình chóp.

Giải:

Diện tích đáy hình chóp là: \(B=a2\)

Thể tích hình chóp là: \(V=\frac{1}{3}​Bh =\frac{1}{3}a^2h\)

Bài 2

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = AC = a. Cạnh bên \(AA’ = a\sqrt{2}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Tính thể tích của khối tứ diện AMN’C’.

Giải:

Diện tích đáy ABC là: \(B = \frac{1}{2}a^2\)

Chiều cao của lăng trụ là: \(h=AA′=a \sqrt{2}\)

Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là: \(V=Bh= \frac{1}{2}a^2 \sqrt{2}\)

Thể tích tứ diện AMN’C’ là: \(V′= \frac{1}{3}V = \frac{1}{6}a^3 \sqrt{2}\)

Bài 3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính thể tích của khối tứ diện CMND.

Giải

Thể tích khối tứ diện CMND là: \(V = \frac{1}{3} Bh = \frac{1}{3}. \frac{1}{2} a^2. \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}\)

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = b. Cạnh bên \(AA’ = a\sqrt{2}\). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích của khối chóp A’.HBC.

Bài 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Tính thể tích của khối chóp S.OBC.

Bài 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = b. Cạnh bên \(AA’ = a\sqrt{2}\). Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính thể tích của khối chóp A’.IBC.

Công thức tính thể tích khối đa diện có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững các công thức này sẽ giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán liên quan đến tính toán thể tích của các vật thể trong thực tế như: hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ, hình chóp, hình cầu, v.v.