Lý thuyết của tam thức bậc hai và bài tập vận dụng

Tam thức bậc hai là một dạng biểu thức đại số quan trọng được ứng dụng rộng rãi trong toán học và các lĩnh vực khác. Bài viết này sẽ trình bày khái niệm “dấu của tam thức bậc hai”, hướng dẫn cách xét dấu tam thức bậc hai và nêu các ứng dụng của việc xét dấu trong giải bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức, giải bài toán thực tế liên quan đến chuyển động,…

Khái niệm tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai (đối với biến x) là biểu thức có dạng

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Trong đó:

a, b, c là những số cho trước.

a ≠ 0 (vì nếu a = 0, biểu thức sẽ trở thành tam thức bậc nhất).

Đặc điểm của tam thức bậc hai

Bậc cao nhất của đa thức là 2.

Biểu thức có thể có giá trị dương, âm hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x.

Đồ thị của tam thức bậc hai là một parabol.

Khái niệm dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai \(f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)\) là dấu của giá trị f(x) khi x thay đổi trong tập xác định.

Cách xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1: Tính \(Δ = b^2 – 4ac\)

Bước 2: Xét các trường hợp:

Δ > 0:

  • f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.
  • f(x) > 0 khi x < x1 hoặc x > x2.
  • f(x) < 0 khi x1 < x < x2.

Δ = 0:

  • f(x) có nghiệm kép x0.
  • f(x) ≥ 0 với mọi x.
  • f(x) = 0 khi x = x0.

Δ < 0:

  • f(x) không có nghiệm thực.
  • f(x) > 0 với mọi x.

Ví dụ:

\(f(x) = x^2 – 4x + 3\):

  • \(Δ = (-4)^2 – 4 . 1 . 3 = 4 > 0\)
  • f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3.
  • f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.
  • f(x) < 0 khi 1 < x < 3.

\(f(x) = x^2 – 2x + 1\):

  • \(Δ = (-2)^2 – 4 . 1 . 1 = 0\)
  • f(x) có nghiệm kép x0 = 1.
  • f(x) ≥ 0 với mọi x.
  • f(x) = 0 khi x = 1.

\(f(x) = x^2 + 2x + 1\):

  • \(Δ = 2^2 – 4 . 1 . 1 = -2 < 0\)
  • f(x) không có nghiệm thực.
  • f(x) > 0 với mọi x.

Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai, ta có thể xác định các khoảng giá trị của x thỏa mãn bất phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình \(f(x) = x^2 – 4x + 3 > 0\)

Δ = 4 > 0: f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3.

a = 1 > 0:

f(x) < 0 khi 1 < x < 3.

f(x) > 0 khi x < 1 hoặc x > 3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = (-∞; 1) ∪ (3; ∞)\)

Tìm giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của biểu thức

Với a > 0:

f(x) có giá trị lớn nhất khi x = x0, là giá trị của đỉnh parabol.

Giá trị lớn nhất của f(x) là f(x0).

Với a < 0:

f(x) có giá trị nhỏ nhất khi x = x0, là giá trị của đỉnh parabol.

Giá trị nhỏ nhất của f(x) là f(x0).

Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(f(x) = -x^2 + 4x – 5\)

a = -1 < 0:

f(x) có giá trị nhỏ nhất khi x = x0 = 2.

Giá trị nhỏ nhất của f(x) là f(2) = 5.

Giải bài toán thực tế liên quan đến chuyển động

Dựa vào dấu của tam thức bậc hai, ta có thể xác định hướng chuyển động của vật.

Ví dụ: Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s.

Phương trình chuyển động: \(h(t) = -4,9t^2 + 20t + 320\)

\(Δ = 20^2 – 4 . (-4,9) . 320 > 0\): h(t) có hai nghiệm t1 và t2.

a = -4,9 < 0:

h(t) > 0 khi t < t1 hoặc t > t2.

h(t) < 0 khi t1 < t < t2.

Vậy vật chuyển động lên cao trong khoảng thời gian (0; t1) và (t2; ∞), chuyển động xuống trong khoảng thời gian (t1; t2).

Các bài tập về Tam thức bậc hai

Bài tập vận dụng và hướng dẫn giải

Bài 1: Xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = x^2 – 4x + 3\):

Lời giải:

Bước 1: Tính \(Δ = b^2 – 4ac = (-4)^2 – 4 . 1 . 3 = 4 > 0\).

Bước 2: Xác định a, b, c:

a = 1 > 0

b = -4

c = 3

Bước 3: Lập bảng xét dấu:

x f(x)
x < 1 f(x) < 0
1 < x < 3 f(x) > 0
x > 3 f(x) < 0

Kết luận:

f(x) > 0 khi 1 < x < 3.

f(x) < 0 khi x < 1 hoặc x > 3.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(f(x) = -x^2 + 4x – 5\):

Lời giải:

Bước 1: Xét dấu của tam thức f(x):

\(Δ = 4^2 – 4 . (-1) . (-5) = 20 > 0\)

a = -1 < 0

Bước 2: Tìm giá trị x0 của đỉnh parabol:

\(x0 = -b/2a = 4/2 = 2\)

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất:

\(f(x0) = -2^2 + 4 . 2 – 5 = 5\)

Kết luận: Giá trị lớn nhất của f(x) là 5 khi x = 2.

Bài 3: Giải bài toán thực tế:

Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320m với vận tốc ban đầu v0 = 20 m/s. Hỏi sau bao lâu vật chạm đất?

Lời giải:

Phương trình chuyển động: \(h(t) = -4,9t^2 + 20t + 320\)

Xét dấu tam thức h(t):

\(Δ = 20^2 – 4 . (-4,9) . 320 > 0\)

a = -4,9 < 0

Lập bảng xét dấu:

t

h(t)
t < 0 h(t) > 0
t > 40,82 h(t) > 0
0 < t < 40,82 h(t) < 0

Kết luận: Vật chạm đất sau 40,82 giây.

Bài tập tự luyện về Tam thức bậc hai

Bài 1: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm

\(f(x) = x^2 + 2x + m\)

\(f(x) = x^2 – 4x + m\)

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc 2

\(f(x) = x^2 – 4x + 3\)

\(f(x) = x^2 + 4x – 5\)

Bài 3: Giải bất phương trình:

\(x^2−4x+3>0\)

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích về cách xét dấu tam thức bậc hai. Ngoài các ứng dụng đã được đề cập, việc xét dấu tam thức bậc hai còn có thể áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác như kinh tế học, kỹ thuật, vật lý,… Bạn có thể tiếp tục nghiên cứu về các chủ đề liên quan như phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai, hàm số bậc hai,… để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán của mình.