Các dạng thức cơ bản của số phức có ví dụ cụ thể

Số phức là một khái quát hóa của số thực, được mở rộng bởi các nhà toán học vào thế kỷ 19. Số phức bao gồm cả số thực và số ảo, và được sử dụng để mô tả nhiều hiện tượng trong thế giới thực, như sóng điện từ, dòng điện xoay chiều, và cơ học lượng tử.

Bài viết này sẽ giới thiệu về khái niệm số phức, bao gồm các định nghĩa, tính chất, và các dạng bài tập thường gặp.

Khái niệm về số phức

Số phức là số được viết dưới dạng z = a + bi, trong đó:

  • ab là các số thực.
  • i là đơn vị ảo, với i^2 = -1.
  • a được gọi là phần thực của số phức z.
  • b được gọi là phần ảo của số phức z.

Ví dụ:

  • 2 + 3i là một số phức.
  • 5 – i là một số phức.
  • 0 + i là một số phức thuần ảo.
  • 3 là một số phức thực (b = 0).

Tập hợp số phức được ký hiệu là C.

Các phép tính trong số phức

  • Cộng trừ:

\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)

\((a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i\)

  • Nhân:

\((a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i\)

  • Chia:

\((a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c – di)] / (c^2 + d^2) = (ac + bd) / (c^2 + d^2) + (bc – ad)i / (c^2 + d^2)\)

Biểu diễn trên mặt phẳng:

Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a, b) trên mặt phẳng phức.

Các dạng thức cơ bản của số phức có ví dụ cụ thể

Số phức liên hợp

Định nghĩa:

Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) (với a và b là số thực, i là đơn vị ảo) là số phức z* được xác định bởi:

\(z = a – bi* \)

Ví dụ:

  • Số phức liên hợp của 2 + 3i là 2 – 3i.
  • Số phức liên hợp của 5 – i là 5 + i.
  • Số phức liên hợp của 0 + i là 0 – i.
  • Số phức liên hợp của 3 là 3 (vì số thực có phần ảo bằng 0).

Tính chất:

  • Số phức liên hợp của số phức liên hợp z* là chính số phức z: (z) = z**.
  • Tổng của hai số phức liên hợp bằng 2 lần phần thực của số phức ban đầu: \(z + z = 2a*\).
  • Hiệu của hai số phức liên hợp bằng 2 lần phần ảo của số phức ban đầu: \(z – z = 2bi*\).
  • Tích của một số phức và số phức liên hợp của nó bằng bình phương môđun của số phức đó: \(z * z = |z|^2 = a^2 + b^2*\).

Môđun của số phức

Định nghĩa:

Môđun của số phức z = a + bi (với a và b là số thực, i là đơn vị ảo) là một số thực được ký hiệu là |z| và được xác định bởi:

\(|z| = √(a^2 + b^2)\)

Ví dụ:

  • Môđun của số phức 2 + 3i là \(√(2^2 + 3^2) = √13\).
  • Môđun của số phức 5 – i là \(√(5^2 + (-1)^2) = √26\).
  • Môđun của số phức 0 + i là \(√(0^2 + 1^2) = 1\).
  • Môđun của số phức 3 là \(√(3^2 + 0^2) = 3\) (vì số thực có phần ảo bằng 0).

Tính chất:

  • Môđun của số phức z luôn là một số thực không âm.
  • Môđun của số phức 0 bằng 0.
  • Môđun của số 1 bằng 1.
  • Môđun của tích hai số phức bằng tích của môđun hai số phức đó: \(|z1 * z2| = |z1| * |z2|\).
  • Môđun của thương hai số phức bằng thương của môđun hai số phức đó: \(|z1 / z2| = |z1| / |z2|\) (với z2 ≠ 0).

Nghịch đảo của số phức

Định nghĩa:

Nghịch đảo của số phức \(z = a + bi\) (với a và b là số thực, i là đơn vị ảo và z ≠ 0) là số phức z⁻¹ được xác định bởi:

\(z⁻¹ = (c – di) / (c^2 + d^2)\)

với c = a và d = b.

Ví dụ:

  • Nghịch đảo của số phức 2 + 3i là \((2 – 3i) / (2^2 + 3^2) = (2 – 3i) / 13\).
  • Nghịch đảo của số phức 5 – i là \((5 + i) / (5^2 + (-1)^2) = (5 + i) / 26\).
  • Không có nghịch đảo của số phức 0 (vì chia cho 0 là không xác định).

Tính chất:

  • Nghịch đảo của số phức z⁻¹ là 1/z.
  • Tích của một số phức và nghịch đảo của nó bằng 1: \(z * z⁻¹ = 1\) (với z ≠ 0).
  • Nghịch đảo của tích hai số phức bằng tích của nghịch đảo hai số phức đó: \((z1 * z2)⁻¹ = z1⁻¹ * z2⁻¹\) (với z1 ≠ 0 và z2 ≠ 0).
  • Nghịch đảo của thương hai số phức bằng thương của nghịch đảo hai số phức đó: \((z1 / z2)⁻¹ = z2⁻¹ / z1⁻¹\) (với z1 ≠ 0 và z2 ≠ 0).

3 dạng bài tập thường gặp ở số phức

Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

  • Phương pháp: 
    • Sử dụng các định nghĩa, tính chất của số phức để giải bài toán.
    • Biểu diễn số phức dưới dạng a + bi (a, b là số thực) và giải hệ phương trình để tìm a, b.
    • Sử dụng các công thức liên quan đến số phức như môđun, số phức liên hợp, …
  • Ví dụ: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện \(|z| = 2 và z + z* = 4\).

Chứng minh đẳng thức liên quan đến số phức

  • Phương pháp: 
    • Sử dụng các định nghĩa, tính chất của số phức để biến đổi vế trái và vế phải của đẳng thức về cùng một dạng.
    • Sử dụng các phép toán số học và đại số để chứng minh đẳng thức.
  • Ví dụ: Chứng minh rằng \((z1 + z2)(z1* – z2*) = |z1|^2 – |z2|^2\).

Giải phương trình số phức

  • Phương pháp: 
    • Sử dụng các phương pháp giải phương trình như: phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ, …
    • Biểu diễn số phức dưới dạng a + bi (a, b là số thực) và giải hệ phương trình để tìm a, b.
    • Sử dụng các công thức liên quan đến số phức như môđun, số phức liên hợp, …
  • Ví dụ: Giải phương trình \(z^2 + 2z + 1 = 0\).

Bài tập về số phức có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hai số phức \(z1 = 2 + 3i  và  z2 = 4 – i\).

  1. a) Tìm số phức z3 sao cho \(z3 = z1 + z2\)
  2. b) Tìm số phức z4 sao cho \(z4 = z1 * z2\)
  3. c) Tìm số phức z5 sao cho \(z5 = z1 / z2\)
  4. d) Tìm môđun của số phức \(z6 = z1 – z2\)
  5. e) Tìm số phức z7 sao cho z7 là số phức liên hợp của z1.

Lời giải:

  1. a) \(z3 = z1 + z2 = (2 + 3i) + (4 – i) = 6 + 2i\)
  2. b) \(z4 = z1 * z2 = (2 + 3i) * (4 – i) = 14 + 5i\)
  3. c) \(z5 = z1 / z2 = (2 + 3i) / (4 – i) = (2 + 3i) * (4 + i) / (4^2 + (-1)^2) = 11/17 + 10/17i\)
  4. d) \(|z6| = |z1 – z2| = |(2 + 3i) – (4 – i)| = |(-2 + 4i)| = √((-2)^2 + 4^2) = 2√5\)
  5. e) \(z7 = z1* = 2 – 3i\)

Bài 2:

Bài tập tự luyện

Bài 1:

Cho hai số phức \(z1 = 3 + 4i  và  z2 = 2 – i\). Tìm:

a) \(z1 + z2\)

b) \(z1 – z2\)

c) \(z1 * z2\)

d) \(z1 / z2\)

Bài 2:

Giải phương trình số phức:

  1. a) \(z^2 + 4z + 3 = 0\)
  2. b) \(z^2 – 2z + 5 = 0\)

Bài 3:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.

Số phức là một chủ đề quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Bài viết này chỉ cung cấp một cái nhìn tổng quan về số phức. Để hiểu rõ hơn về chủ đề này, bạn có thể tham khảo thêm các tài liệu chuyên sâu về số phức.