Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong Giải tích 11, đóng vai trò thiết yếu trong việc nghiên cứu sự thay đổi của hàm số. Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm là điều kiện tiên quyết để học tập các chủ đề tiếp theo. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống các quy tắc tính đạo hàm cơ bản trong chương trình Giải tích 11.
Quy tắc tính đạo hàm chung
\((u+v)′=u′+v′\)
\((u−v)′=u′−v′\)
\((uv)′=u′v+uv′\)
\((u/v)′=u’v/uv’/ v^2\)
\((u∘v)′=u′(v(x))⋅v′(x)\)
Quy tắc đạo hàm của hàm số cơ bản
\[
(c)’ = 0
\]
\[
(x)’ = 1
\]
\[
(ax)’ = a \cdot x^{a-1}
\]
\[
\left(\sqrt{x}\right)’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
\[
\left(\sqrt[n]{x}\right)’ = \frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}
\]
\[
(\sin x)’ = \cos x
\]
\[
(\cos x)’ = – \sin x
\]
\[
(\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}
\]
\[
(\cot x)’ = – \frac{1}{\sin^2 x}
\]
Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp
\[
(u^a)’ = a \cdot u^{a-1} \cdot u’
\]
\[
(\sqrt{u})’ = \frac{1}{2\sqrt{u}}
\]
\[
(\sqrt[n]{u})’ = \frac{u’}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}}
\]
\[
(\sin u)’ = u’ \cdot \cos u
\]
\[
(\cos u)’ = – u’ \cdot \sin u
\]
\[
(\tan u)’ = \frac{u’}{\cos^2 u}
\]
\[
(\cot u)’ = – \frac{u’}{\sin^2 u}
\]
Các dạng bài tập đạo hàm
Dạng bài tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp
Áp dụng phương pháp tính đạo hàm của hàm số
Ghi nhớ công thức sau:
\(f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)Dạng bài áp dụng các quy tắc tính đạo hàm
\[
\text{Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số } y = 5x^2(3x-1)
\]
\[
\text{Tạ có: } y’ = [5x^2(3x – 1)]’ = (5x^2)'(3x – 1) + 5x^2(3x – 1)’
\]
\[
= 10x(3x – 1) + 5x^2 \cdot 3 = 45x^2 – 10x
\]
\[
\text{Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số } y = (x^7 + x)^2
\]
\[
\text{Ta có: } y’ = [(x^7 + x)^2]’ = 2(x^7 + x)(x^7 + x)’
\]
\[
= 2(x^7 + x)(7x^6 + 1) = 2(7x^{13} + 8x^7 + x)
\]
\[
= 14x^{13} + 16x^7 + 2x
\]
Dạng bài chứng minh, giải phương trình, bất phương trình
Phương pháp
– Tính y’
– Áp dụng các kiến thức đã học để biến đổi về phương trình hoặc bất phương trình bậc 1, 2 hoặc 3
Đối với bài toán chứng minh bất đẳng thức thì biến đổi về phức tạp về đơn giản hoặc cả 2 vế bằng biểu thức trung gian.
Bài tập có lời giải chi tiết
Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số tại các điểm x0 sau:
- a) \(y = 7 + x – x ^ 2\) với x_{0} = 1
- b) \(y = 3x ^ 2 – 4x + 9\) , với x_{0} = 1
Lời giải
- a) \(y = 7 + x – x ^ 2\) Ta có: y’ = 1 – 2x Vậy y’ * (1) = 1 – 2.1 = – 1 .
- b) \(y = 3x ^ 2 – 4x + 9\) Ta có: y’ = 6x – 4 Vậy y’ * (1) = 6.1 – 4 = 2
Bài 2: Tính các đạo hàm của các hàm số sau:
- a) \(y = – x ^ 3 + 3x + 1\)
- b) \(y = (2x – 3)(x ^ 5 – 2x)\)
- c) \(y = x ^ 2 * sqrt(x)\)
d)\(y = (2x + 1)/(1 – 3x)\)
- e) \(y = (2x ^ 2 – 4x + 1)/(x – 3)\)
Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho hàm số f(x) xác định trên R bởi \(f(x) = 2x² + 1\). Giá trị f(-1) bằng:
- 2
- 6
- -4
- 3
Câu 2. Cho hàm số \(f(x) = -2x^2 + 3x\) xác định trên R. Khi đó f'(x) bằng:
A.-4x-3
B. -4x + 3
C. 4x + 3
D. 4x – 3
Câu 3. Đạo hàm của hàm số \(y = (1 – x³)^5\) là:
A. \(y’ = 5(1 – x^3)^4\)
B. \(y’ = -15×2(1-x^3)^4\)
C. \(y’ = -3(1 – x^3)^4\)
D. \(y’ = -5x²(1 – x^3)^4\)
Câu 4. Đạo hàm của hàm số y = (x² – x + 1)^5[/latex] là:
A. \(4(x2 – x + 1)^4(2x – 1)\)
B.\(5(x2 – x + 1)^4\)
C. \(5(x2 – x + 1)^4(2x – 1)\)
D. \((x2 – x + 1)(2x – 1)\)
Câu 5: Cho hàm số \(f(x)=x2+3x−1\). Đạo hàm của hàm số f(x) là:
A. \(2x+3\)
B. \(2x−3\)
C. \(x2+3x\)
D. \(x2−3x\)
Câu 6: Cho hàm số \(g(x)=sinx+cosx\). Đạo hàm của hàm số g(x) là:
A. \(cosx−sinx \)
B. \(sinx+cosx \)
C. \(−sinx−cosx \)
D. \(−sinx+cosx\)
Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống các quy tắc tính đạo hàm cơ bản trong chương trình Giải tích 11
