Chinh phục phương trình mũ và logarit lớp 12

Phương trình mũ và logarit là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Chủ đề này bao gồm các khái niệm về hàm mũ, hàm logarit, phương trình mũ và phương trình logarit. Việc nắm vững kiến thức về phương trình mũ và logarit là rất cần thiết để giải quyết các bài toán trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi đại học.

Bài viết này sẽ trình bày một cách tổng quan về phương trình mũ và logarit, bao gồm các khái niệm cơ bản, phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp.

Tóm tắt lý thuyết

Phương trình mũ

Phương trình mũ là phương trình chứa ẩn số ở số mũ của luỹ thừa. Pt mũ cơ bản có dạng tổng quát là ax = b(0 < a ≠1)

  • Nếu b nhỏ hơn hoặc bằng 0, phương trình vô nghiệm
  • Nếu b lớn hơn 0, phương trình có nghiệm duy nhất x = logab

Công thức biến đổi mũ

công thức biến đổi mũ

Phương trình Logarit

Với cơ số a dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản: Logax = b

Ta thấy về trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là R. Về phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta dễ dàng suy ra nghiệm đó là:x= a^b

Công thức biến đổi Logarit

phương trình mũ và logarit

Các dạng bài tập phương trình mũ và phương trình logarit thường gặp

Các dạng bài tập phương trình mũ 

Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số:

Phương pháp:

  • Lấy logarit hai vế của phương trình với cùng một cơ số (thường là cơ số 2 hoặc e).
  • Giải phương trình logarit thu được.
  • Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn phương trình ban đầu hay không.

Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ

Đây là phương pháp giải bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp trong các đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần thực hiện theo các bước sau:

  • Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
  • Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
  • Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
  • Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
  • Bước 5: Kết luận

Dạng 3: Phương pháp Logarit hóa

Trong một số trường hợp, chúng ta không thể giải bài tập phương trình mũ và logarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, các em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải bài tập phương trình mũ và logarit này được gọi là logarit hoá.

Dấu hiệu nhận biết bài toán phương trình mũ áp dụng phương pháp logarit hóa: Phương trình loại này thường có dạng af(x), bg(x), ch(x) = d (tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau). Khi đó, các em có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số a (hoặc b, hoặc c).

Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình mũ

Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải bài tập phương trình mũ và logarit, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau:

  • Tập xác định của hàm số mũ y = ax(0 < a ≠ 1) là R.
  • Chiều biến thiên:
  • a > 1: Hàm số luôn đồng biến
  • 0 < a < 1: Hàm số luôn nghịch biến
  • Tiệm cận: Trục hoành Oz là đường tiệm cận ngang

Đồ thị: Đi qua điểm (0;1), (1;a) và nằm phía trên trục hoành.

Để giải theo phương pháp giải phương trình mũ này, ta cần làm theo các bước sau đây:

Hướng 1:

  • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = k.
  • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số f(x) trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
  • Bước 3. Nhận xét:

+ Với x = 20 ⇔ f(x) = f(x) = k do đó x = 20 là nghiệm.

+ Với x > 20 ⇔ f(x) f(x) = k do đó phương trình vô nghiệm.

+ Với x<20 ⇔ f(x) f(x) = k do đó phương trình vô nghiệm.

  • Bước 4. Kết luận vậy 2 = 20 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Hướng 2:

  • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(x) = g(x).
  • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x). Khẳng định hàm số y = f(x) là hàm số đồng biến còn y = g(x) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng.
  • Bước 3. Xác định 2 sao cho f(x) = 9(20).

Hướng 3:

  • Bước 1. Chuyển phương trình về dạng f(u) = f(v).
  • Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = f(x). Khẳng định hàm số đơn điệu.
  • Bước 3. Khi đó f(u) = f(v) ⇔ u = v.

Dạng 5: Giải phương trình mũ có chứa tham số

Với phương trình có chứa tham số: f(x; m) = g(m), chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x;m) và đường thẳng (d): y = g(m)

Bước 2: Xét hàm số y = f(x;m)

  • Tìm miền xác định D
  • Tính đạo hàm ý rồi giải phương trình y = 0
  • Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 3: Kết luận:

  • Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi minf(x,m) nhỏ hơn hoặc bằng g(m) nhỏ hơn hoặc bằng max f(x;m) (x∈R)
  • Phương trình có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (d) cắt (C) tại K điểm phân biệt.
  • Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi (d) giao (C) bằng rỗng

Phương trình mũ và logarit là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này đã trình bày một cách tổng quan về phương trình mũ và logarit, bao gồm các khái niệm cơ bản, phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về chủ đề này và giải quyết các bài toán một cách nhanh chóng và chính xác.