Phương trình mặt phẳng: Dạng tổng quát, chính tắc, ba điểm

Hệ tọa độ trong không gian là một hệ thống gồm ba trục tọa độ vuông góc với nhau, được dùng để xác định vị trí của một điểm trong không gian. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về hệ tọa độ trong không gian lớp 12, bao gồm khái niệm, tính chất, phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp.

Khái niệm phương trình mặt phẳng

Phương trình mặt phẳng là một công cụ đại số quan trọng định nghĩa một mặt phẳng trong không gian ba chiều. Nó thường được biểu diễn dưới dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó A, B, và C là các hệ số và (x, y, z) là các biến số đại diện cho các điểm trên mặt phẳng.

Quy trình giải phương trình mặt phẳng thường bao gồm các bước sau:

Xác định các hệ số A, B, C và D trong phương trình mặt phẳng được cung cấp.

Tìm các điểm trên mặt phẳng bằng cách gán giá trị cho một trong ba biến x, y và z và tính toán giá trị của biến còn lại từ phương trình.

Xác định các điểm nằm trên mặt phẳng bằng cách tìm các giá trị của ba biến x, y và z thỏa mãn phương trình.

Để giải các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng, chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp khác nhau như sử dụng điểm trên mặt phẳng và phương trình đi qua các điểm đó, sử dụng hình chiếu của các điểm lên mặt phẳng, áp dụng các định lý và quy tắc về mặt phẳng, và nhiều phương pháp khác.

Phương pháp giải phương trình mặt phẳng trong không gian

Bước 1: Xác định phương trình mặt phẳng. Phương trình mặt phẳng thường có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó (A, B, C) là vector pháp tuyến của mặt phẳng.

Bước 2: Xác định các điểm nằm trên mặt phẳng. Chọn một điểm bất kỳ (x, y, z) thuộc mặt phẳng và thay vào phương trình mặt phẳng, sau đó giải phương trình để tìm giá trị của D.

Bước 3: Xác định các điểm nằm trên đường thẳng giao với mặt phẳng. Chọn các giá trị tùy ý của hai biến không thuộc mặt phẳng (ví dụ: x = 0 và y = 0), sau đó giải hệ phương trình từ hai biến này và phương trình mặt phẳng để tìm giá trị của biến thứ ba.

Bước 4: Kiểm tra các điểm được tìm thấy ở bước trước có nằm trên đường thẳng hay không. Thay các giá trị của ba biến vào phương trình đường thẳng và kiểm tra xem có thoả mãn hay không.

Nếu các điểm tìm được trong bước 3 thoả mãn phương trình đường thẳng, ta có thể kết luận rằng đường thẳng đó là đường thẳng giao với mặt phẳng.

Phương trình mặt phẳng cơ bản 

Dạng tổng quát

  • \(Ax + By + Cz + D = 0\) (A, B, C không đồng thời bằng 0)
  • Đây là dạng phương trình phổ biến nhất của mặt phẳng.
  • Để xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, ta có thể lấy (A, B, C).

Dạng chính tắc

  • \(x/A = y/B = z/C\) (A, B, C không đồng thời bằng 0)
  • Dạng này giúp ta dễ dàng hình dung vị trí của mặt phẳng trong không gian.
  • Mặt phẳng có dạng chính tắc cắt ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại ba điểm A(A, 0, 0), B(0, B, 0), C(0, 0, C).

Dạng hai điểm và một vectơ pháp tuyến

  • Đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có vectơ pháp tuyến n = (a, b, c):

\((x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c\)

  • Đi qua điểm M(x0, y0, z0) và có hai vectơ chỉ phương u = (a, b, c) và v = (d, e, f):

\((x – x0)/a = (y – y0)/b = (z – z0)/c = (dx + ey + fz – dx0 – ey0 – fz0)/(ad + be + c*f)\)

Dạng ba điểm

Đi qua ba điểm M(x1, y1, z1), N(x2, y2, z2), P(x3, y3, z3):

\((x – x1)(y2 – y3)(z1 – z2) + (x – x2)(y3 – y1)(z2 – z1) + (x – x3)(y1 – y2)(z3 – z2) = 0\)

Một số dạng đặc biệt

  • Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có vectơ pháp tuyến n = (a, b, c):

\(ax + by + cz = 0\)

  • Mặt phẳng song song với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đi qua điểm M(x0, y0, z0):

\(Ax + By + Cz + D’ = 0 với D’ = Ax0 + By0 + Cz0\)

Ví dụ

  • Cho mặt phẳng (P): \(2x + 3y – z + 5 = 0\).
  • Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (2, 3, -1).

  • Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1, 2, 3) và song song với mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (Q) là \(2x + 3y – z + D = 0\).

Thay tọa độ điểm M vào phương trình, ta được 2 + 6 – 3 + D = 0.

Vậy phương trình mặt phẳng (Q) là \(2x + 3y – z – 5 = 0\).

Phương trình mặt phẳng tọa độ trong không gian Oxyz có dạng như thế nào?

Phương trình mặt phẳng tọa độ trong không gian Oxyz có dạng như sau: \(Ax + By + Cz + D = 0\). Trong đó, A, B, và C là các hệ số của các biến x, y, và z, tương ứng là độ dốc của mặt phẳng theo các trục tọa độ, và D là hệ số tự do. Đây là một phương trình tổng quát để biểu diễn các mặt phẳng trong không gian ba chiều.

Để xác định mặt phẳng dựa trên các điểm đã biết, chúng ta cần ít nhất 3 điểm không thẳng hàng. Lấy ví dụ, với 3 điểm P(x1, y1, z1), Q(x2, y2, z2), và R(x3, y3, z3), ta có thể sử dụng phương trình sau để tìm mặt phẳng thông qua các điểm này:

\(| x – x1 y – y1 z – z1 |\)

\(| x2 – x1 y2 – y1 z2 – z1 | = 0\)

\(| x3 – x1 y3 – y1 z3 – z1 |\)

Từ đó, ta có thể tính được các hệ số A, B, C và D của phương trình mặt phẳng. Sau khi đã biết các hệ số, chúng ta có thể sử dụng phương trình này để tính toán và giải quyết các bài toán liên quan đến mặt phẳng trong không gian Oxyz.

Những dạng bài phương trình mặt phẳng có đáp án chi tiết

Dạng 1: Xác định dạng phương trình mặt phẳng:

Bài 1: Cho điểm M(1, 2, 3) và vectơ n = (2, 3, -1). Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và có vectơ pháp tuyến n.

Bài 2: Cho ba điểm A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9). Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C.

Dạng 2: Tìm tọa độ điểm hoặc vectơ:

Bài 3: Cho mặt phẳng (P): \(2x + 3y – z + 5 = 0\).

  1. a) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) và cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 3.
  2. b) Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với trục Ox.

Dạng 3: Tính khoảng cách:

Bài 4: Cho điểm M(1, 2, 3) và mặt phẳng (P): \(2x + 3y – z + 5 = 0\). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Dạng 4: Góc giữa hai mặt phẳng:

Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P): \(2x + 3y – z + 5 = 0 và (Q): x – y + 2z – 1 = 0\). Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Dạng 5: Ứng dụng:

Bài 6: Một hình chóp S.ABCD có S(1, 2, 3), A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0) và D(0, 1, 0). Tìm tọa độ điểm M trên cạnh SC sao cho SM = 2MC.

Hệ tọa độ trong không gian là một chủ đề quan trọng, có nhiều ứng dụng thực tế. Hy vọng qua bài viết này, bạn đã có được những kiến thức nền tảng vững chắc để tiếp tục học tập và nghiên cứu các chủ đề toán học cao hơn.