Phương trình mặt cầu: Định nghĩa, công thức và ví dụ chi tiết

Phương trình mặt cầu là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, tuy nhiên nhiều học sinh vẫn gặp khó khăn trong việc giải các bài tập liên quan. Bài viết này ra đời nhằm mục đích giúp các bạn hiểu rõ hơn về phương trình mặt cầu, từ đó có thể giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.

Định nghĩa mặt cầu

Mặt cầu là tập hợp tất cả các điểm cách một điểm cố định O một khoảng không đổi R.

Phương trình mặt cầu

Yếu tố của phương trình mặt cầu

  • Tâm I(a; b; c): điểm cố định cách đều các điểm trên mặt cầu.
  • Bán kính R: khoảng cách từ tâm I đến một điểm bất kỳ trên mặt cầu.

Tính chất của mặt cầu

  • Tính đối xứng:
    • Mặt cầu có tâm đối xứng là I.
    • Mọi mặt phẳng qua tâm I đều là mặt phẳng đối xứng của mặt cầu.
  • Đường kính: đoạn thẳng nối hai điểm trên mặt cầu và đi qua tâm I.
  • Dây cung: đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ trên mặt cầu.

Phương trình mặt cầu ở vị trí tiếp xúc với đường thẳng

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu

d(I,(P))=R và mặt phẳng (P) đồng thời là tiếp diện của mặt cầu. Khi đó, tọa độ hình chiếu của mặt cầu và mặt phẳng là điểm tiếp xúc H của mặt cầu và mặt phẳng, kí hiệu là vector IH (vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)).

Tập hợp các phương pháp giải bài tập về phương trình mặt cầu lớp 12

  1. Phương pháp tọa độ:
  • Dựa vào tọa độ của các điểm và tính chất của mặt cầu để lập phương trình.
  • Ví dụ: Cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 4; 1) và C(3; 6; -1). Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C.

Lời giải:

  • Gọi I là tâm mặt cầu.
  • Sử dụng tính chất ba điểm cùng thuộc một mặt cầu để lập hệ phương trình:
    • IA^2 = IB^2 = IC^2.
    • I có tọa độ (x; y; z).
  1. Phương pháp vectơ:
  • Sử dụng vectơ để biểu diễn tâm và bán kính, từ đó lập phương trình.
  • Ví dụ: Cho điểm A(1; 2; 3) và vectơ u = (2; 4; 6). Viết phương trình mặt cầu tâm A và có bán kính bằng độ dài vectơ u.

Lời giải:

  • Gọi I là tâm mặt cầu.
  • Biểu diễn vectơ IA theo tọa độ của A và I.
  • Sử dụng công thức tính độ dài vectơ để lập phương trình.
  1. Phương pháp tiếp tuyến:
  • Dựa vào tính chất của tiếp tuyến để lập phương trình.
  • Ví dụ: Cho mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0\) và điểm M(1; 2; 3). Viết phương trình tiếp tuyến của mặt cầu (S) tại điểm M.

Lời giải:

  • Gọi I là tâm mặt cầu.
  • Biểu diễn vectơ IM theo tọa độ của I và M.
  • Sử dụng công thức tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng tiếp tuyến.
  • Lập phương trình mặt phẳng tiếp tuyến dựa vào vectơ pháp tuyến và điểm M.
  1. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:

\((x−2)^2+(y+1)^2+(z−3)^2=16\)

Lời giải:

  • So sánh phương trình với dạng tổng quát, ta có:
    • Tâm I(2; -1; 3).
    • Bán kính R = 4.

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; 2; 3) và có bán kính R = 5.

Lời giải:

Sử dụng dạng tổng quát, ta có phương trình:

\((x−1)^2+(y−2)^2+(z−3)^2=25\)

Bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về phương trình mặt cầu lớp 12. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hãy tiếp tục luyện tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.