Phép thử và biến cố: Cơ sở lý thuyết và bài toán thực tế

Phép thử và biến cố là hai khái niệm cơ bản trong chương trình Toán lớp 11, đóng vai trò quan trọng trong giải toán tổ hợp, xác suất thống kê và nhiều lĩnh vực khác. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, ví dụ và các dạng bài tập thường gặp về phép thử và biến cố.

Phép thử

  • Khái niệm: Phép thử là một hoạt động hay thí nghiệm mà ta không thể đoán trước được kết quả.
  • Ví dụ: Gieo một đồng xu, tung một con xúc xắc, bốc thăm một quả cầu từ hộp.

Biến cố

  • Khái niệm: Biến cố là một tập hợp con của không gian mẫu (tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử).
  • Ví dụ: Biến cố “Kết quả gieo đồng xu là mặt ngửa” hay “Kết quả tung xúc xắc là số 6”.

Các loại biến cố

  • Biến cố chắc chắn: Biến cố luôn xảy ra trong mọi lần thực hiện phép thử.
  • Biến cố không thể: Biến cố không bao giờ xảy ra trong mọi lần thực hiện phép thử.
  • Biến cố ngẫu nhiên: Biến cố có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong mỗi lần thực hiện phép thử.

Tính xác suất của biến cố

  • Xác suất của biến cố A là \(P(A) = n(A)/n(Ω)\), với n(A) là số phần tử của tập A, n(Ω) là số phần tử của không gian mẫu.
  • Các tính chất của xác suất:
    • \(0 ≤ P(A) ≤ 1\)
    • \(P(∅) = 0\)
    • \(P(Ω) = 1\)
    • \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)\)

Quan hệ và phép toán trên các biến cố

Quan hệ giữa các biến cố

  • Biến cố đối nhau: Hai biến cố A và B đối nhau nếu \(A ∩ B = ∅\) (tập hợp rỗng). Ví dụ: “Kết quả gieo đồng xu là mặt ngửa” và “Kết quả gieo đồng xu là mặt sấp”.
  • Biến cố xung khắc: Hai biến cố A và B xung khắc nếu \(A ∩ B ≠ ∅\) và A ∪ B = Ω (không gian mẫu). Ví dụ: “Lấy được quả cầu màu đỏ” và “Lấy được quả cầu màu xanh” từ hộp chỉ chứa hai quả cầu đỏ và xanh.
  • Biến cố độc lập: Hai biến cố A và B độc lập nếu \(P(A ∩ B) = P(A)P(B)\). Ví dụ: “Gieo đồng xu lần thứ nhất ra mặt ngửa” và “Gieo đồng xu lần thứ hai ra mặt ngửa”.

Phép toán trên các biến cố

  • Hợp của các biến cố: A ∪ B là biến cố xảy ra khi A hoặc B hoặc cả hai cùng xảy ra.
  • Giao của các biến cố: A ∩ B là biến cố xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra.
  • Hiệu của các biến cố: A \ B là biến cố xảy ra khi A xảy ra nhưng B không xảy ra.
  • Bổ sung của biến cố: A’ là biến cố xảy ra khi A không xảy ra.

Công thức tính xác suất

  • Công thức cộng: \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)\).
  • Công thức nhân: \(P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) (với A ≠ ∅)\).
  • Công thức Bayes: \(P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) (với P(B) ≠ 0)\).

Ví dụ

Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu có số lớn hơn 5”.

Giải:

  • Gọi A là biến cố “Lấy được quả cầu có số lớn hơn 5”.
  • \(A = {6; 7; 8; 9; 10}\).
  • \(n(A) = 5\)
  • \(n(Ω) = 10\)
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω) = 5/10 = 1/2\)

Bài tập phép thử và biến cố có lời giải

Bài 1: Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu có số lớn hơn 5”.

Giải:

  • Gọi A là biến cố “Lấy được quả cầu có số lớn hơn 5”.
  • \(A = {6; 7; 8; 9; 10}\)
  • \(n(A) = 5\)
  • \(n(Ω) = 10\)
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω) = 5/10 = 1/2\)

Bài 2:

Một hộp chứa 10 quả cầu, trong đó có 4 quả cầu màu đỏ, 3 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu vàng. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu màu đỏ hoặc màu xanh”.

Giải:

  • Gọi A là biến cố “Lấy được quả cầu màu đỏ hoặc màu xanh”.
  • \(A = {1; 2; 3; 4}\)
  • \(n(A) = 7\).
  • \(n(Ω) = 10\).
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω) = 7/10\).

Bài 3:

Hai bạn A và B chơi trò chơi tung đồng xu. A sẽ thắng nếu kết quả là sấp và B sẽ thắng nếu kết quả là ngửa. Hãy tính xác suất để A và B thắng.

Giải:

  • Xác suất để A thắng là P(A) = 1/2.
  • Xác suất để B thắng là P(B) = 1/2.
  • Vì A và B chơi đối đầu nên A thắng và B thua là hai biến cố độc lập.
  • Do đó, xác suất để A và B thắng là \(P(A ∩ B) = P(A) * P(B) = 1/2 * 1/2 = 1/4\).

Bài tập tự luyện về phép thử và biến cố

Bài 1: Gieo một con xúc xắc hai lần. Hãy liệt kê các biến cố có thể xảy ra.

Bài 2: Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu có số chẵn hoặc số chia hết cho 3”.

Từ một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để tổng hai số trên hai quả cầu là số chẵn.

Bài 3:

Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một lớp học có 30 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có đúng 2 bạn nam và 1 bạn nữ.

Bài 4:

Một hộp chứa 12 quả cầu được đánh số từ 1 đến 12. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu. Tính xác suất để 3 quả cầu lấy ra có số đôi một khác nhau.

Bài 5:

Gieo một con xúc xắc 6 mặt hai lần. Tính xác suất để tổng số chấm trên hai mặt là 7.

Bài 6:

Một hộp chứa 10 quả cầu, trong đó có 4 quả cầu màu đỏ, 3 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 quả cầu. Tính xác suất để 4 quả cầu lấy ra có đủ cả ba màu.

Bài 7:

Một xưởng sản xuất có 3 máy móc A, B, C. Máy A sản xuất được 60% sản phẩm đạt chuẩn, máy B sản xuất được 70% sản phẩm đạt chuẩn, máy C sản xuất được 80% sản phẩm đạt chuẩn. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó đạt chuẩn.

Phép thử và biến cố là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, do đó việc nắm vững kiến thức về chủ đề này là rất cần thiết. Bài viết này cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và các dạng bài tập thường gặp để bạn có thể ôn luyện và củng cố kiến thức của mình.