Tổng hợp kiến thức phép đồng dạng? Định nghĩa, tính chất và ứng dụng

Trong chương trình Toán 11, phép đồng dạng đóng vai trò quan trọng và là nền tảng cho nhiều chủ đề khác. Hiểu rõ về phép đồng dạng sẽ giúp học sinh giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và chính xác. Bài viết này sẽ giới thiệu về phép đồng dạng lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng phép đồng dạng và ứng dụng

Định nghĩa phép đồng dạng

Phép biến hình f được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0), nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng, ta luôn có:

\(M’N’ = k.MN\)

Tính chất phép đồng dạng

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng:
  • Nếu đường thẳng qua tâm đồng dạng, nó biến thành chính nó.
  • Nếu đường thẳng không qua tâm đồng dạng, nó biến thành đường thẳng song song với nó.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng:
  • Đoạn thẳng biến thành đoạn thẳng có độ dài gấp |k| lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.
  • Hai điểm M, N bất kỳ trên đường thẳng thì \(M’N’ = |k|.MN\)
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng:
  • Tam giác biến thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số đồng dạng |k|.
  • Biến góc thành góc bằng nó:
  • Góc biến thành góc bằng nó.

Hệ quả

  • Phép đồng dạng tỉ số k biến điểm O thành chính nó.
  • Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép đồng nhất.
  • Phép đồng dạng tỉ số k = -1 là phép đối xứng tâm O.

Công thức phép đồng dạng

Phép đồng dạng tỉ số k

  • Biến điểm M thành điểm M’ sao cho: OM’ = k.OM
  • Biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng A’B’ sao cho: A’B’ = k.AB
  • Biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ sao cho: A’B’C’ ~ ABC với tỉ số đồng dạng |k|

Hệ quả

  • Phép đồng dạng tỉ số k biến điểm O thành chính nó.
  • Phép đồng dạng tỉ số k = 1 là phép đồng nhất.
  • Phép đồng dạng tỉ số k = -1 là phép đối xứng tâm O.

Công thức tính diện tích

Nếu F là phép đồng dạng tỉ số k, ta có:

\(S(F(A)) = k^2.S(A)\)

Công thức tính thể tích

Nếu F là phép đồng dạng tỉ số k, ta có:

\(V(F(A)) = k^3.V(A)\)

So sánh phép dời hình, vị tự, đồng dạng tỉ số k

Phép dời hình

  • Là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Ví dụ: phép tịnh tiến, phép quay.

Phép vị tự V(O,k)

  • Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho: OM’ = k.OM(k là tỉ số vị tự).
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số |k|.
  • Ví dụ: phép vị tự tâm O tỉ số 2.

Phép đồng dạng tỉ số k

  • Là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho: OM’ = k.OM (k là tỉ số đồng dạng).
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó theo tỉ số |k|.
  • Phép đồng dạng bao gồm phép dời hình (k = 1) và phép vị tự (k ≠ 0).

Bài tập phép vị tự có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của hình vuông ABCD qua phép vị tự tâm M tỉ số k = 2.

Lời giải:

  • Gọi A’, B’, C’, D’ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép vị tự tâm M tỉ số k = 2.
  • Vì M là trung điểm của BC nên:

MB = MC = BC/2

MB’ = MC’ = BC’/2 = BC/2 = MB = MC

  • Do đó, M là trung điểm của B’C’.
  • Ta có:

\(MA’ = k.MA = 2.MA\)

\(MB’ = k.MB = 2.MB\)

\(MC’ = k.MC = 2.MC\)

\(MD’ = k.MD = 2.MD\)

  • Vậy A’B’C’D’ là hình vuông.

Kết luận: Ảnh của hình vuông ABCD qua phép vị tự tâm M tỉ số k = 2 là hình vuông A’B’C’D’.

Bài 2: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có tâm O và O’ cách nhau là d. Biết rằng đường tròn (O’; R’) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự.

Lời giải:

Gọi V là tâm vị tự.

Vì (O’; R’) là ảnh của (O; R) qua phép vị tự tâm V nên OV = k.OV’ (k là tỉ số vị tự).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OVO’, ta có:

\(OV^2 = VO’^2 + OV’^2 – 2.VO’.OV’.cos(V)\)

Thay \(OV = k.OV’ vào phương trình trên, ta được:

[latex]k^2.OV’^2 = OV’^2 + OV’^2 – 2.OV’.OV’.cos(V)\)

Giải phương trình trên, ta được: 

Vậy tâm vị tự V là điểm nằm trên đường nối tâm O và O’ sao cho OV/OV’ = k.

Bài 3: Cho phép vị tự tâm O tỉ số k = 2. Biết điểm A biến thành điểm A’ sao cho OA’ = 5cm. Tính độ dài đoạn thẳng OA.

Lời giải:

  • Vì phép vị tự tâm O tỉ số k = 2 nên \(OA’ = k.OA = 2.OA\)
  • Thay OA’ = 5cm vào phương trình trên, ta được: 5 = 2.OA.
  • Vậy OA = 5/2 = 2,5cm.

Bài tập luyện tập bài phép vị tự

  1. Cho phép vị tự tâm O tỉ số k = 3. Xác định ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự.
  2. Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có AB = 2A’B’, AC = 3A’C’, BC = 4B’C’. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau bằng phép vị tự.
  3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có tâm O và O’ cách nhau là d. Biết rằng đường tròn (O’; R’) là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự. Tìm tâm vị tự và tỉ số vị tự.
  4. Cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Xác định ảnh của hình vuông ABCD qua phép vị tự tâm M tỉ số k = 2.
  5. Cho hai điểm A và B. Gọi O là điểm sao cho OA = 2OB. Tìm ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 1/2.
  6. Cho tam giác ABC và điểm M nằm trên cạnh BC. Gọi O là điểm sao cho OM = 2MA. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm O tỉ số k = 1/2.
  7. Cho hình vuông ABCD. Gọi O là điểm nằm trong hình vuông ABCD. Xác định ảnh của hình vuông ABCD qua phép vị tự tâm O tỉ số k.
  8. Cho đường tròn (O; R). Gọi I là điểm nằm trên đường tròn (O; R). Xác định ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I tỉ số k.

Phép vị tự là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phép vị tự lớp 11.