Phép đối xứng trục: Khái niệm, tính chất và ứng dụng

Phép đối xứng trục là một phép biến hình quan trọng trong chương trình Toán 12, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề khác như: vectơ, hệ tọa độ, geometria giải tích,… Phép đối xứng trục được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý, kỹ thuật, kiến trúc,… Bài viết này sẽ trình bày khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép đối xứng trục.

Phép đối xứng trục là gì?

Phép đối xứng trục là một phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc đường thẳng d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Phép đối xứng trục là gì?

Cách xác định ảnh của một điểm qua phép đối xứng trục:

  • Lấy một điểm O bất kì trên trục đối xứng.
  • Nối M và O, lấy điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.
  • M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d.

Tính chất của phép đối xứng trục

  • Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
  • Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
  • Phép đối xứng trục biến hai điểm đối xứng nhau qua trục đối xứng thành nhau.

Ví dụ:

  • Hai điểm A và A’ đối xứng nhau qua trục d.
  • Đoạn thẳng AB và A’B’ bằng nhau.
  • Tam giác ABC và A’B’C’ bằng nhau.
  • Đường tròn (O) và (O’) bằng nhau.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục

Một số dạng bài tập về đối xứng trục

Dạng 1: Cho điểm M và đường thẳng d. Dựng ảnh M’ của điểm M qua phép đối xứng trục d.

Phương pháp giải:

  • Lấy một điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng d.
  • Vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với d.
  • Giao điểm của đường thẳng qua M và vuông góc với d và đường thẳng đi qua A và vuông góc với d là ảnh M’ của điểm M qua phép đối xứng trục d.

Ví dụ:

Cho điểm M(1, 2) và đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0. Dựng ảnh M’ của điểm M qua phép đối xứng trục d.

Giải:

  • Lấy điểm A(2, 0) thuộc đường thẳng d.
  • Vẽ đường thẳng qua M và vuông góc với d: x + 2y – 5 = 0.
  • Giao điểm của đường thẳng x + 2y – 5 = 0 và đường thẳng đi qua A và vuông góc với d: x – 2y + 5 = 0 là điểm M'(3, 4).

Dạng 2: Cho hai điểm M và N. Dựng đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục qua MN.

Phương pháp giải:

  • Lấy điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng d.
  • Gọi M’ và N’ lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục qua MN.
  • Đường thẳng d’ đi qua A và M’N’.

Ví dụ:

Cho hai điểm M(1, 2) và N(3, 4). Dựng đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: x + y – 1 = 0 qua phép đối xứng trục qua MN.

Giải:

  • Lấy điểm A(0, 0) thuộc đường thẳng d.
  • Gọi M'(5, 6) và N'(7, 8) lần lượt là ảnh của M và N qua phép đối xứng trục qua MN.
  • Đường thẳng d’ đi qua A và M’N’: x + y – 7 = 0.

Dạng 3: Cho hình phẳng H. Dựng ảnh H’ của hình phẳng H qua phép đối xứng trục d.

Phương pháp giải:

  • Dựng ảnh của tất cả các điểm của hình phẳng H qua phép đối xứng trục d.
  • Nối các điểm tương ứng để tạo ra hình phẳng H’.

Ví dụ:

Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = 2 cm. Dựng ảnh H’ của hình vuông ABCD qua phép đối xứng trục d: x – y = 0.

Giải:

  • Dựng ảnh A’, B’, C’, D’ của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục d.
  • Nối A’B’, B’C’, C’D’, D’A’ để tạo ra hình vuông A’B’C’D’.

Dạng 4: Cho hai hình phẳng H và H’. Chứng minh hai hình phẳng H và H’ bằng nhau bằng phép đối xứng trục.

Phương pháp giải:

  • Tìm đường thẳng d sao cho phép đối xứng trục qua d biến hình phẳng H thành hình phẳng H’.
  • Chứng minh đường thẳng d tồn tại.

Ví dụ:

Cho hai tam giác ABC và DEF. Chứng minh hai tam giác ABC và DEF bằng nhau bằng phép đối xứng trục.

Giải:

  • Gọi I là trung điểm của BC.
  • Gọi J là điểm sao cho EJ = IF.
  • Đường thẳng d đi qua I và J.
  • Phép đối xứng trục qua d biến tam giác ABC thành tam giác DEF.

Dạng 5: Ứng dụng phép đối xứng trục để giải bài toán hình học.

Phương pháp giải:

Sử dụng phép đối xứng trục để di chuyển các hình trong mặt phẳng để tạo ra vị trí thuận lợi cho việc giải bài toán.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. N là điểm trên cạnh AB sao cho AN = 2NB. Chứng minh rằng MN // AC.

Giải:

  • Dựng điểm D sao cho MD = MA.
  • Phép đối xứng trục qua d biến N thành N’.
  • Tứ giác MN’DC là hình bình

Qua bài viết này, chúng ta đã tìm hiểu về khái niệm, tính chất và ứng dụng của phép đối xứng trục. Phép đối xứng trục là một phép biến hình đơn giản nhưng có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Việc nắm vững kiến thức về phép đối xứng trục giúp chúng ta giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.