Tính chất của phép chiếu song song – Các dạng bài tập thường gặp

Phép chiếu song song là một trong những chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 11. Nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, cơ khí,… Hiểu rõ về phép chiếu song song sẽ giúp học sinh phát triển tư duy logic, rèn luyện khả năng giải quyết vấn đề và có nền tảng vững chắc để tiếp tục học các chủ đề tiếp theo.

Khái niệm phép chiếu song song

  • Phép chiếu song song là phép biến hình biến mọi điểm M trong không gian thành điểm M’ trên mặt phẳng (P) sao cho MM’ song song với một đường thẳng d cho trước (d không nằm trong (P)).
  • Đường thẳng d được gọi là phương chiếu của phép chiếu.
  • Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng chiếu.

Tính chất của phép chiếu song song

  • Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự của ba điểm đó.
  • Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
  • Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
  • Phép chiếu song song không thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Phép chiếu song song lên mặt phẳng

  • Cách vẽ:
    • Lấy một điểm A bất kỳ trong không gian không thuộc mặt phẳng (P).
    • Qua A, vẽ đường thẳng d song song với vectơ l.
    • Gọi M’ là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).
    • M’ là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng (P) theo phương l.
  • Ứng dụng:
    • Vẽ hình biểu diễn của các hình không gian.
    • Giải bài tập toán hình không gian.

Phép chiếu song song lên mặt phẳng trục

  • Mặt phẳng trục: là mặt phẳng Oxy.
  • Phép chiếu song song lên mặt phẳng trục: là phép chiếu song song lên mặt phẳng Oxy theo phương l.
  • Hình chiếu song song lên mặt phẳng trục: là hình ảnh của một hình H qua phép chiếu song song lên mặt phẳng Oxy theo phương l.
  • Cách vẽ:
    • Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho l = (a, b, c).
    • Chiếu tất cả các điểm của hình H lên mặt phẳng Oxy theo phương l.
    • Nối các điểm tương ứng trên hình chiếu để hình chiếu song song của hình H lên mặt phẳng trục.

Dạng bài tập về phép chiếu song song

Dạng 1: Xác định hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng:

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và điểm M không thuộc (α). Qua M, ta vẽ đường thẳng d song song với một đường thẳng Δ nằm trong (α). Gọi M’ là hình chiếu của M trên (α) theo phương d. Hãy xác định điểm M’.

Cách giải:

  • Chọn một điểm A trên Δ.
  • Qua M và A, ta vẽ hai đường thẳng song song lần lượt cắt (α) tại M’ và A’.
  • Tứ giác AMA’M’ là hình bình hành.
  • Do đó, M’ là trung điểm của AA’.

Dạng 2: Xác định hình chiếu của một đường thẳng trên mặt phẳng:

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d. Qua một điểm M không thuộc d, ta vẽ đường thẳng m song song với d. Gọi d’ là hình chiếu của d trên (α) theo phương m. Hãy xác định đường thẳng d’.

Cách giải:

  • Chọn hai điểm A, B trên d.
  • Qua M và A, B, ta vẽ hai đường thẳng song song lần lượt cắt (α) tại A’, B’.
  • Đường thẳng d’ đi qua A’ và B’.

Dạng 3: Ứng dụng của phép chiếu song song:

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD theo phương chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD).

Cách giải:

  • Chọn một điểm O trên mặt phẳng (ABCD).
  • Qua S và các điểm A, B, C, D, ta vẽ các đường thẳng song song lần lượt cắt (ABCD) tại S’, A’, B’, C’, D’.
  • Nối S’A’, S’B’, S’C’, S’D’ ta được hình chóp S’.A’B’C’D’.

Luyện tập

Bài 1: Cho mặt phẳng (α) và điểm M không thuộc (α). Qua M, ta vẽ đường thẳng d song song với đường thẳng Δ nằm trong (α). Gọi M’ là hình chiếu của M trên (α) theo phương d. Hãy xác định điểm M’.

Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AB. Xác định hình chiếu M’ của M trên mặt phẳng (A’B’C’D’).

Bài 3: Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng d. Qua một điểm M không thuộc d, ta vẽ đường thẳng m song song với d. Gọi d’ là hình chiếu của d trên (α) theo phương m. Hãy xác định đường thẳng d’.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA. Xác định hình chiếu d’ của đường thẳng SM trên mặt phẳng (ABCD).

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình chóp S.ABCD theo phương chiếu song song lên mặt phẳng (ABCD).

Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CC’, AA’. Hãy vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo phương chiếu song song lên mặt phẳng (ABC).

Qua bài học về phép chiếu song song, hy vọng các học sinh đã nắm vững các khái niệm, tính chất và dấu hiệu nhận biết về phép chiếu song song. Từ đó, các em có thể áp dụng kiến thức vào giải các bài tập và thực tiễn. Bài học này cũng là nền tảng quan trọng để các em tiếp tục học các chủ đề tiếp theo trong chương trình Toán học lớp 11.