Phép chia số phức – Định nghĩa, tính chất và ví dụ

Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất và cách thực hiện phép chia số phức. Ngoài ra, bài viết cũng cung cấp một số ví dụ minh họa và bài tập để bạn luyện tập.

Hãy cùng khám phá thế giới toán học kỳ diệu của số phức thông qua phép chia số phức!

Khái niệm phép chia số phức

Phép chia số phức là phép toán ngược của phép nhân số phức. Cho hai số phức z1 và z2 (z2 ≠ 0), ta có thể chia z1 cho z2 bằng cách nhân z1 với số phức liên hợp của z2, ký hiệu là z1 / z2, và được tính theo công thức sau:

z1 / z2 = z1 * z2 / |z2|^2

Phương pháp thực hiện phép chia số phức

Chuyển phép chia số phức thành phép nhân nghịch đảo

Cho số phức z1 = a + bi và số phức z2 = c + di, z2 là số chia. Ta sẽ chuyển phép chia số phức thành phép nhân nghịch đảo của số phức, với các bước thực hiện như sau:

  • Chuyển số phức bị chia và số phức chia về dạng chính phương.
  • Tìm số nghịch đảo của số phức chia bằng cách lấy phần nghịch đảo của phần ảo và phần thực của số phức. Số phức nghịch đảo của z2 là 1z2 = 1 c+ di = c – di (c+ di)(c-di) = c- di c2 + d2
  • Nhân số phức bị chia với nghịch đảo của số phức chia và rút gọn kết quả bằng cách chia nó cho phần thực của số phức chia.

Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp

Cho 2 số phức z1 = a + bi và số phức z2 = c + di. Với z2 là số chia, ta có số phức liên hợp của z2 là c- di. Để thực hiện phép chia số phức, ta tiến hành nhân cả tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu.

Cụ thể: a+bic+di = (a+bi)(c-di)(c+di)(c-di) = (ac + bd) + (bc-ad)ic2 + d2 = ac + bdc2 + d2 + bc-adc2 + d2i

Quy tắc thực hiện phép chia số phức

Để có thể chia số phức dễ dàng, tránh bị nhầm lẫn, các em cần tuân thủ theo những nguyên tắc sau đây:

  • Quy tắc chia một số phức cho số phức khác: Đặt số phức bị chia vào dấu chia và đặt số phức bị chia ở dưới dấu chia. Nhân cả số phức bị chia và số phức chia với số phức nghịch đảo, thực hiện rút gọn biểu thức khi có thể.
  • Quy tắc chia một số thực cho số phức: Chuyển số thực thành một số phức, bằng cách cộng số thực với số phức 0i, ví dụ chuyển số thực 2 thành số phức 2 + 0i. Sau đó, áp dụng quy tắc chia số 1 để thực hiện phép chia số phức.
  • Quy tắc chia số phức cho một số thực: Ta tiến hành chia phần thực và phần ảo của số phức bị chia cho số thực. Ta sẽ được kết quả là số phức mới với phần thực là phần thực của phép chia và phần ảo là phần ảo của phép chia chia cho số thực.
  • Quy tắc thực hiện phép chia: Khi thực hiện phép chia số phức với tử số = 0 thì kết quả phép chia =0. Ví dụ: I = 01+ 2i = 0

Lưu ý: Khi thực hiện phép tính, ta nên rút gọn biểu thức nhất có thể để tính toán số phức chính xác hơn.

Phép chia số phức dạng đặc biệt

Có thể tồn tại trường hợp đặc biệt khi thực hiện phép chia số phức không? Câu trả lời là có, khi số phức chia không bằng không. Trong thực tế, không thể chia cho số phức bằng không trong các trường hợp thông thường. 

Tuy nhiên, khi chia một số phức cho một số không khác không, kết quả của phép chia không thể xác định được. Điều này có nghĩa là phép chia số phức không có ý nghĩa và thường được ghi là “Không tồn tại” để biểu thị kết quả trong trường hợp này.

Cụ thể: I = 5- 2i0 = //(// mang ý nghĩa không tồn tại)

Ứng dụng của phép chia số phức

Phép chia số phức có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, vật lý, kỹ thuật và khoa học máy tính. Dưới đây là một số ví dụ cụ thể:

Giải phương trình

  • Phép chia số phức được sử dụng để giải các phương trình bậc hai, bậc ba và bậc cao hơn có hệ số phức.
  • Ví dụ, ta có thể sử dụng phép chia số phức để giải phương trình z^2 + 2z + 1 = 0.

Tìm nghiệm của đa thức

  • Phép chia số phức có thể được sử dụng để tìm nghiệm của đa thức có hệ số phức.
  • Ví dụ, ta có thể sử dụng phép chia số phức để tìm nghiệm của đa thức z^3 + 2z^2 + z + 1 = 0.

Biến đổi hình học

  • Phép chia số phức được sử dụng trong phép biến đổi hình học phức, chẳng hạn như phép quay, phép tịnh tiến và phép vị tự.
  • Ví dụ, phép quay một điểm z quanh gốc tọa độ với góc θ có thể được biểu diễn bằng phép chia số phức z / e^(-iθ).

Vật lý

  • Phép chia số phức được sử dụng trong nhiều bài toán vật lý, chẳng hạn như bài toán về sóng điện từ, truyền dẫn điện và cơ học lượng tử.
  • Ví dụ, trong bài toán về sóng điện từ, phép chia số phức được sử dụng để tính toán độ phản xạ và độ truyền qua của sóng điện từ tại một ranh giới.

Kỹ thuật

  • Phép chia số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật, chẳng hạn như xử lý tín hiệu, điều khiển hệ thống và thiết kế bộ lọc.
  • Ví dụ, trong xử lý tín hiệu, phép chia số phức được sử dụng để lọc nhiễu khỏi tín hiệu.

Khoa học máy tính

  • Phép chia số phức được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học máy tính, chẳng hạn như đồ họa máy tính, mật mã học và học máy.
  • Ví dụ, trong đồ họa máy tính, phép chia số phức được sử dụng để render các hình ảnh 3D.
  • Phép chia số phức là một phép toán quan trọng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Hiểu rõ phép chia số phức sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Bài tập về phép chia số phức có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm số phức nghịch đảo của một số trường hợp sau:

  1. 1 – 2i
  2. 3 + 5i
  3. 1 + i

Giải:

  1. Số nghịch đảo của số phức z = 1- 2i là:

1z = 11 – 2i = 1+ 2i(1-2i)(1+2i) = 1 5+ 25i

  1. Số nghịch đảo của số phức z = 3 + 5i là:

1z = 13+ 5i = 3 – 5i(3 + 5i)(3 – 5i) = 3 16+ -516i

  1. Số nghịch đảo của số phức z = 1 + i là:

1z = 11+ i = 1 – i(1 + i)( 1- i) = 1 2+ -12i

Bài 2: Thực hiện phép chia số phức. Từ đó, tìm phần thực và phần ảo của số phức.

  1. z = 1 + i1- i
  2. z = 1 + 2i2 – i
  3. z = 3 + 4i2 + 3i + 5 -2 i2-3i

Giải:

  1. z = 1 + i1- i = (1 + i)(1 + i)(1- i)(1 + i) = 1 + 2i + i22 = – 2i2 = -i. Số phức z = -i có phần thực là 0 và phần ảo là -1.
  2. z = 1 + 6i2 – i = (1 + 6i)(2 + i)(2 – i)(i + 2) = 2+ i + 8i – 65 = -45 + 95i. Số phức z = -45 + 95i có phần thực là -45 và phần ảo là 95.
  3. z = 3 + 4i2 + 3i + 5 -2 i2-3i = (3 + 4i)(2-3i)(2 + 3i)(2 – 3i) + (5 -2i)(2+3i)(2-3i)(2+3i) = 6-9i+8i+1213 + 10+15i-4i+613 = 3413 + 1013 i. Số phức z= 3413 + 1013 i có phần thực là 3413 và phần ảo là 1013.

Bài tập tự luyện về phép chia số phức

Bài 1: Thực hiện phép chia

  1. a) 6 – 4i2 + 7i
  2. b) 5 -2i5-3i
  3. c) 3 + √3i2 √2+ 3i
  4. d) √5 -2 i4-3i
  5. e) 4 – 5i + 5 + 3i5-6i
  6. f) (1+i)2-2i-3-i

Bài 2: Tìm z thoả mãn

  1. a) 2i = (4-8i)z
  2. b) 5 + 6i = √6i. z
  3. c) (√3 + 8i)z = 6 + 7i

Như vậy, bài viết đã trình bày chi tiết về phép chia số phức. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến số phức một cách dễ dàng.