Hệ thống kiến thức phép biến hình lớp 11 – Các dạng phổ biến

Phép biến hình là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều chủ đề khác như điểm uốn, ứng dụng trong vật lý và kinh tế. Bài viết cũng sẽ cung cấp cho bạn các ví dụ minh họa cụ thể để giúp bạn dễ dàng hiểu và áp dụng.

Khái niệm phép biến hình

Phép biến hình là một quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm duy nhất M’ trong cùng mặt phẳng đó. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

Các dạng phép biến hình 

Phép tịnh tiến

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM’ = vectơ v.

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng song song với nó.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó và có cùng hướng với nó.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.

Ứng dụng: Dùng để di chuyển một hình trong mặt phẳng.

Phép dời hình

Định nghĩa: Phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

Tính chất:

  • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng.
  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến tia thành tia.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Phân loại:

  • Phép tịnh tiến
  • Phép đối xứng trục
  • Phép đối xứng tâm
  • Phép quay

Phép đối xứng trục

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM’ vuông góc với trục đối xứng và MM’ = MM’.

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Ứng dụng: Dùng để tạo ra các hình đối xứng qua trục.

Phép đối xứng tâm

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho MM’ đi qua tâm đối xứng O và MM’ = MM’.

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Ứng dụng: Dùng để tạo ra các hình đối xứng qua tâm.

Phép quay

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho góc MOM’ = α (α là góc quay) và OM = OM’.

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
  • Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

Ứng dụng: Dùng để xoay một hình quanh một điểm.

Phép vị tự

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM’ = k.OM (k là tỉ số vị tự).

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

Ứng dụng: Dùng để phóng to hoặc thu nhỏ một hình.

Phép đồng dạng

Định nghĩa: Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho:

  • MM’ / OM = k (k là tỉ số đồng dạng)
  • Góc MOM’ = góc M’OM

Tính chất:

  • Biến đường thẳng thành đường thẳng đồng dạng với nó.
  • Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng k lần độ dài đoạn thẳng ban đầu.
  • Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác ban đầu.
  • Biến góc thành góc bằng nó.
  • Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng

Ứng dụng của phép biến hình vào giải toán

Phép biến hình là một công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán hình học một cách đơn giản và hiệu quả. Dưới đây là một số ứng dụng của phép biến hình vào giải toán:

Chứng minh hai tam giác bằng nhau

  • Phép tịnh tiến: Dùng để di chuyển một tam giác về vị trí trùng với tam giác còn lại.
  • Phép quay: Dùng để xoay một tam giác về vị trí trùng với tam giác còn lại.
  • Phép đối xứng trục: Dùng để biến một tam giác thành tam giác trùng với tam giác còn lại.
  • Phép đồng dạng: Dùng để biến một tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác còn lại.

Tính độ dài đoạn thẳng

Phép vị tự: Dùng để phóng to hoặc thu nhỏ một hình để tính độ dài đoạn thẳng.

Tính diện tích hình

Phép vị tự: Dùng để phóng to hoặc thu nhỏ một hình để tính diện tích hình.

Chứng minh hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau

  • Phép tịnh tiến: Dùng để di chuyển một đường thẳng để xác định vị trí tương đối của nó với đường thẳng còn lại.
  • Phép quay: Dùng để xoay một đường thẳng để xác định vị trí tương đối của nó với đường thẳng còn lại.

Chứng minh bốn điểm đồng quy

  • Phép đồng dạng: Dùng để biến bốn điểm thành bốn điểm đồng quy.

Giải bài toán về góc

  • Phép quay: Dùng để xoay một hình để xác định vị trí tương đối của các góc.
  • Phép đối xứng trục: Dùng để biến một góc thành góc bằng nó.

Giải bài toán về hình tròn

  • Phép quay: Dùng để xoay một hình tròn để xác định vị trí tương đối của các điểm trên đường tròn.
  • Phép vị tự: Dùng để phóng to hoặc thu nhỏ một hình tròn để tính độ dài bán kính, diện tích,…

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ về phép biến hình lớp 11.