Phân tích xác suất của biến cố: Cơ sở lý thuyết và bài toán thực tế

Xác suất của biến cố là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đóng vai trò quan trọng trong giải toán tổ hợp, xác suất thống kê và nhiều lĩnh vực khác.Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về định nghĩa, tính chất, ví dụ và các dạng bài tập thường gặp về xác suất biến cố.

Định nghĩa xác suất của biến cố

  • Xác suất của biến cố A là số đo khả năng xảy ra của biến cố A.
  • Ký hiệu: \(P(A)\)
  • Giá trị: \(0 ≤ P(A) ≤ 1\).

Tính chất của xác suất của biến cố

  • \(P(Ω) = 1\) (Ω là biến cố chắc chắn xảy ra).
  • \(P(∅) = 0 \)(∅ là biến cố không thể xảy ra).
  • \(0 ≤ P(A) ≤ 1\).
  • \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)\) (công thức cộng).
  • \(P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)\) (công thức nhân).
  • \(P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)\) (công thức Bayes).

Hệ quả xác suất của biến cố

Với tất cả các biến cố A, ta có:

\(0 ≤ P(A) ≤ 1\).

Công thức tính xác suất

  • Công thức cộng: \(P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)\).
  • Công thức nhân: \(P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A) (với A ≠ ∅)\).
  • Công thức Bayes: \(P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) (với P(B) ≠ 0)\).

Quy tắc nhân xác suất của giao 2 biến cố

Định nghĩa hai biến cố độc lập

Hai biến cố A và B được coi là độc lập khi xảy ra (hoặc không xảy ra) của biến cố A sẽ không làm ảnh hưởng đến xác suất của B.

Định lí

Khi \(P(AB) = P(A). P(B)\) thì A và B là hai biến cố độc lập.

Bài tập về xác suất của biến cố có lời giải chi tiết

Bài 1:

Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất để mặt xuất hiện là mặt có số chia hết cho 3.

Giải:

  • \(Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}\).
  • A = {3; 6}.
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω) = 2/6 = 1/3\).

Bài 2:

Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu có số lớn hơn 5”.

Giải:

  • \(Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}\).
  • \(A = {6; 7; 8; 9; 10}\).
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω)\) = 5/10 = 1/2.

Bài 3:

Một hộp chứa 10 quả cầu, trong đó có 4 quả cầu màu đỏ, 3 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu vàng. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu màu đỏ hoặc màu xanh”.

Giải:

  • Ω = {đỏ 1; đỏ 2; đỏ 3; đỏ 4; xanh 1; xanh 2; xanh 3; vàng 1; vàng 2; vàng 3}.
  • A = {đỏ 1; đỏ 2; đỏ 3; đỏ 4; xanh 1; xanh 2; xanh 3}.
  • P(A) = n(A)/n(Ω) = 7/10.

Bài 4:

Từ một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để tổng hai số trên hai quả cầu là số chẵn.

Giải:

  • \(Ω = C_10^2\) = 45.
  • A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (1, 8), (1, 10), (2, 4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (3, 4), (3, 6), (3, 8), (3, 10), (4, 6), (4, 8), (4, 10), (5, 6), (5, 8), (5, 10), (6, 8), (6, 10), (8, 10)}.
  • n(A) = 20.
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω)\) = 20/45 = 4/9.

Bài 5:

Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một lớp học có 30 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có đúng 2 bạn nam và 1 bạn nữ.

Giải:

  • \(Ω = C_30^3\) = 4060.
  • A = {(nam 1, nam 2, nữ 1), (nam 1, nam 3, nữ 1), (nam 2, nam 3, nữ 1), …}.
  • n(A) = 1575.
  • \(P(A) = n(A)/n(Ω)\) = 1575/4060 = 3/8.

Bài tập tự luyện

  1. Gieo một đồng xu hai lần. Hãy liệt kê các biến cố có thể xảy ra.
  2. Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Tính xác suất của biến cố “Lấy được quả cầu có số chẵn hoặc số chia hết cho 3”.
  3. Hai bạn A và B chơi trò chơi tung đồng xu. A sẽ thắng nếu kết quả là sấp và B sẽ thắng nếu kết quả là ngửa. Hãy tính xác suất để A và B thắng.
  4. Từ một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để tổng hai số trên hai quả cầu là số chẵn.
  5. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ một lớp học có 30 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có đúng 2 bạn nam và 1 bạn nữ.

Bài viết đã trình bày đầy đủ kiến thức về xác suất biến cố, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức tính và các dạng bài tập thường gặp. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn học tốt hơn môn Toán và áp dụng vào các bài toán thực tế.