Mặt phẳng là gì? Định nghĩa và tính chất của mặt phẳng

Mặt phẳng là một khái niệm cơ bản trong hình học không gian lớp 11, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học và khoa học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn định nghĩa chính xác về mặt phẳng, cũng như trình bày các tính chất quan trọng của nó. Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ giải thích một số phương pháp để xác định và viết phương trình mặt phẳng.

Khái niệm mặt phẳng

Mặt phẳng là một tập hợp tất cả các điểm cùng cách đều một điểm cố định, gọi là điểm gốc.

  • Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
  • Mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường thẳng: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đường thẳng không đi qua điểm đó.

Phương trình của mặt phẳng

Phương trình tổng quát

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

Trong đó:

  • A, B, C là các số thực và không đồng thời bằng 0.
  • D là một số thực.

Phương trình tham số của mặt phẳng

\( = x0 + at\)

\(y = y0 + bt\)

\(z = z0 + ct\)

Trong đó: (x0, y0, z0) là tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng. a, b, c là các số thực và là vectơ chỉ phương của một đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng:

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A, B, C, D) là vector  n = (A, B, C).

Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (A, B, C, D) được tính theo công thức:

\(d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2 + B^2 + C^2)\)

Góc giữa hai mặt phẳng

Góc giữa hai mặt phẳng (A1, B1, C1, D1) và (A2, B2, C2, D2) được tính theo công thức:

\(cosα = (A1A2 + B1B2 + C1C2)/(√(A1^2 + B1^2 + C1^2) * √(A2^2 + B2^2 + C2^2))\)

Cách xác định một mặt phẳng

Qua ba điểm không thẳng hàng

– Ví dụ: Cho ba điểm A(1, 2, 3), B(2, 4, 5) và C(3, 6, 7). Mặt phẳng (ABC) được xác định bởi ba điểm A, B và C.

Qua một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó

– Ví dụ: Cho điểm A(1, 2, 3) và đường thẳng d: x = 2t, y = 3t, z = 4t. Mặt phẳng (A, d) được xác định bởi điểm A và đường thẳng d.

Qua hai đường thẳng cắt nhau

– Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 5 + t, y = 6 + 2t, z = 7 + 3t. Mặt phẳng (d1, d2) được xác định bởi hai đường thẳng d1 và d2.

Qua hai đường thẳng song song

– Ví dụ: Cho hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 2 + t, y = 3 + 2t, z = 4 + 3t. Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau. Mặt phẳng (d1, d2) được xác định bởi hai đường thẳng d1 và d2.

Tính chất thừa nhận của mặt phẳng

  • Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
  • Nếu có một đường thẳng có 2 điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì tất cả các điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
  • Mọi đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng đều nằm trong mặt phẳng đó.
  • Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
  • Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

Ví dụ:

  • Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, ta có thể xác định được một mặt phẳng (ABC).
  • Cho đường thẳng d và điểm M thuộc d, ta có thể xác định được một mặt phẳng (M, d).
  • Cho hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau, ta có thể xác định được một mặt phẳng (d1, d2).
  • Hai mặt phẳng (ABC) và (BCD) cắt nhau theo đường thẳng BC.
  • Trên mặt phẳng (ABC), ba điểm A, B, C không thẳng hàng thì ba đường thẳng AB, AC, BC cũng không thẳng hàng.

Bài tập mặt phẳng có lời giải

Bài 1: Cho ba điểm A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) và C(7, 8, 9). Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Lời giải:

Ta có thể sử dụng phương pháp sau để viết phương trình mặt phẳng (ABC):

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ABC) vuông góc với cả hai vectơ AB và AC.

AB = (3, 3, 3)

AC = (6, 6, 6)

n = AB x AC = (-9, -9, 9)

Bước 2: Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (ABC), ví dụ như điểm A(1, 2, 3).

Bước 3: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với vectơ pháp tuyến n và điểm A(1, 2, 3).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC):

-9(x – 1) – 9(y – 2) + 9(z – 3) = 0

Bài 2: Cho điểm M(1, 2, 3) và đường thẳng d: x = 2t, y = 3t, z = 4t. Viết phương trình mặt phẳng (M, d).

Lời giải:

Ta có thể sử dụng phương pháp sau để viết phương trình mặt phẳng (M, d):

Bước 1: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u = (2, 3, 4).

Bước 2: Chọn điểm M(1, 2, 3) thuộc mặt phẳng (M, d).

Bước 3: Viết phương trình tham số của mặt phẳng (M, d) với vectơ chỉ phương u và điểm M(1, 2, 3).

Phương trình tham số của mặt phẳng (M, d):

x = 1 + 2t

y = 2 + 3t

z = 3 + 4t

Bài 3: Cho hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 5 + t, y = 6 + 2t, z = 7 + 3t. Viết phương trình mặt phẳng (d1, d2).

Lời giải:

Ta có thể sử dụng phương pháp sau để viết phương trình mặt phẳng (d1, d2):

Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (d1, d2).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (d1, d2) vuông góc với cả hai vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 và d2.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d1 là u1​​ = (2, 3, 4).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d2 là u2​​ = (1, 2, 3).

n = u1​​ x u2​​ = (-1, -2, 1)

Bước 2: Chọn một điểm thuộc mặt phẳng (d1, d2), ví dụ như điểm M(2, 3, 4) thuộc đường thẳng d1.

Bước 3: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (d1, d2) với vectơ pháp tuyến n và điểm M(2, 3, 4).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng (d1, d2): -1(x – 2) – 2(y – 3) + 1(z – 4) = 0

Bài tập luyện tập bài mặt phẳng

  1. Cho ba điểm A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) và C(7, 8, 9).
  2. a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
  3. b) Tìm tọa độ điểm D thuộc mặt phẳng (ABC) và cách đều ba điểm A, B, C.
  4. Cho điểm M(1, 2, 3) và đường thẳng d: x = 2t, y = 3t, z = 4t.
  5. a) Viết phương trình mặt phẳng (M, d).
  6. b) Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d.
  7. Cho hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 5 + t, y = 6 + 2t, z = 7 + 3t.
  8. a) Viết phương trình mặt phẳng (d1, d2).
  9. b) Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2.
  10. Cho tứ diện ABCD với A(1, 2, 3), B(4, 5, 6), C(7, 8, 9) và D(10, 11, 12).
  11. a) Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện có các cạnh đối diện song song.
  12. b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
  13. c) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm của cạnh CD.
  14. Cho hình chóp S.ABCD với S(1, 2, 3), A(4, 5, 6), B(7, 8, 9), C(10, 11, 12) và D(13, 14, 15).
  15. a) Viết phương trình mặt phẳng (SAB).
  16. b) Viết phương trình mặt phẳng (SBC).
  17. c) Tìm tọa độ điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD.

Mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về mặt phẳng.