Lý thuyết và bài tập về góc nội tiếp - Toán lớp 9

Góc nội tiếp là một chủ đề quan trọng trong chương Hình học 9. Việc nắm vững kiến thức về góc nội tiếp giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến cung, dây, góc nội tiếp, góc trung tâm và tam giác nội tiếp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết tất cả các kiến thức liên quan đến góc nội tiếp của đường tròn. Chúc bạn đọc bài với niềm hứng thú nhất.

Định nghĩa góc nội tiếp

Góc nội tiếp là góc được tạo thành bởi hai dây trên một đường tròn khi chúng cắt nhau tại một điểm nằm bên trong đường tròn. Điểm cắt này được gọi là điểm nội tiếp. Mỗi đường dây tạo ra một phần của đường tròn, và góc nội tiếp là góc giữa hai phần này. 

Đặc biệt, mỗi góc nội tiếp trên cùng một dây sẽ có giá trị bằng một nửa góc được tạo ra bởi dây đó và đường tròn. Góc nội tiếp cung cấp thông tin quan trọng về mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình học hình tròn và thường được sử dụng trong các bài toán tính toán và lập luận hình học.

Cách xác định:

• Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm trên đường tròn.
• Nối A và B, ta được đoạn thẳng AB.
• Góc \(\angle AOB\) được gọi là góc nội tiếp.

Lưu ý:

• Góc nội tiếp có thể là góc nhọn, góc tù hoặc góc vuông.
• Góc nội tiếp được xác định bởi hai điểm A và B, không phụ thuộc vào vị trí của điểm O.

Phân loại góc nội tiếp

Góc nội tiếp được phân loại dựa vào số đo của chúng:

Góc nội tiếp nhọn: Là góc nội tiếp có số đo nhỏ hơn \(90^\circ\).

Góc nội tiếp tù: Là góc nội tiếp có số đo lớn hơn \(90^\circ\) và nhỏ hơn \(180^\circ\).

Góc nội tiếp vuông: Là góc nội tiếp có số đo bằng \(90^\circ\).

Lưu ý:

Phân loại góc nội tiếp giúp học sinh dễ dàng hình dung và giải quyết các bài toán liên quan.

Việc phân loại góc nội tiếp cũng giúp học sinh ghi nhớ các tính chất của góc nội tiếp một cách hiệu quả.

Kết luận:

Phân loại góc nội tiếp là một kiến thức cơ bản trong chương Hình học 9. Việc nắm vững kiến thức này giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả.

Tính chất của góc nội tiếp

Góc nội tiếp, được tạo ra bởi hai dây trên một đường tròn cắt nhau tại một điểm bên trong đường tròn, có một số tính chất quan trọng:

Giá trị góc: Góc nội tiếp có giá trị bằng một nửa góc tương ứng được tạo ra bởi cùng hai dây và một điểm nằm bên ngoài đường tròn.

Góc đối diện: Góc nội tiếp có góc đối diện bằng giá trị của một góc nội tiếp khác mà cùng chia đỉnh với nó.

Tương quan với đường tròn: Hai góc nội tiếp có cùng dây chung hoặc dây song song sẽ có giá trị bằng nhau.

Tính chất góc lớn và góc nhỏ: Góc nội tiếp lớn luôn lớn hơn góc nội tiếp nhỏ và có giá trị gấp đôi góc nội tiếp nhỏ đối diện.

Tính chất góc bù: Hai góc nội tiếp bù nhau khi có một trong hai bên nội tiếp là góc lớn và bên kia là góc nhỏ.

Tương quan với cung: Góc nội tiếp có thể có mối quan hệ với độ dài của cung tương ứng, nhưng điều này không nhất thiết.

Những tính chất này cung cấp một cơ sở quan trọng để hiểu và áp dụng góc nội tiếp trong các bài toán hình học và tính toán liên quan đến đường tròn.

Hệ thức lượng trong tam giác nội tiếp

Hệ thức lượng trong tam giác nội tiếp là các công thức liên hệ giữa các cạnh, góc và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác.

Các hệ thức lượng:

\(\begin{align*}
\frac{\sin A}{a} &= \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = 2R \\
R &= \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} \\
a^2 &= b^2 + c^2 – 2bc\cos A \\
b^2 &= a^2 + c^2 – 2ac\cos B \\
c^2 &= a^2 + b^2 – 2ab\cos C
\end{align*}\)

Chứng minh:

Có thể chứng minh các hệ thức lượng dựa trên định lý sin và định lý cos trong tam giác.

Ví dụ:

• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với bán kính R. Tính độ dài cạnh BC.

Lời giải:

• Áp dụng hệ thức lượng sin, ta có:

\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = 2R\)

• Thay số, ta được:

\(\frac{\sin A}{BC} = \frac{\sin B}{AC} = \frac{\sin C}{AB} = 2R\)

• Giải hệ phương trình, ta được:

\(BC = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)

Các dạng bài tập liên quan và cách giải

Bài toán dựa vào hệ quả của góc nội tiếp chứng minh ba điểm thẳng hàng.

Cách giải:

Sử dụng hệ quả:

Hai đường thẳng chứa hai cạnh của góc nội tiếp cắt nhau tại một điểm trên đường tròn.

Ví dụ:

Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B trên đường tròn. Vẽ hai đường thẳng OA và OB. Chứng minh rằng ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Bước 1: Vẽ hình minh họa

Giải bài toán: ba điểm O, A, B thẳng hàng

Bước 2: Chứng minh hai đường thẳng OA và OB cắt nhau tại điểm O.

Vì O là tâm đường tròn nên OA và OB là hai bán kính của đường tròn.

Hai bán kính của đường tròn luôn cắt nhau tại tâm đường tròn.

Vậy hai đường thẳng OA và OB cắt nhau tại điểm O.

Bước 3: Chứng minh hai \(\angle AOB\) và \(\angle BOA\) là hai góc đối đỉnh.

Vì hai đường thẳng OA và OB cắt nhau tại O nên hai góc \(\angle AOB\) và \(\angle BOA\) là hai góc kề bù.

Hai góc kề bù có tổng số đo bằng \(180^\circ\).

Mà \(\angle AOB\)+\(\angle BOA\)=\(180^\circ\)

Suy ra hai góc \(\angle AOB\) và \(\angle BOA\) là hai góc đối đỉnh.

Bước 4: Suy ra ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Hai góc đối đỉnh thì có cùng số đo.

Mà\(\angle AOB\) = \(\angle BOA\)

Suy ra \(\angle AOB\)+\(\angle AOB\) = \(\angle BOA\)+\(\angle BOA\)

Hay 2\(\angle AOB\)=2\(\angle BOA\)

Chia hai vế của phương trình cho 2, ta được: 

\(\angle AOB\) = \(\angle BOA\)

Do đó, ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Vậy ba điểm O, A, B thẳng hàng.

Kết luận, qua việc tìm hiểu về tính chất của góc nội tiếp trên đường tròn và áp dụng vào bài toán cụ thể. Sự phản ánh rõ ràng của tính chất này trong bài toán không chỉ là một ví dụ minh họa về cách áp dụng kiến thức vào thực tế mà còn làm tôn lên vẻ đẹp và sự logic trong lĩnh vực hình học.

Đồng thời, nó cũng khẳng định sự quan trọng của việc hiểu và áp dụng lý thuyết góc nội tiếp trong việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong tương lai.