Lý thuyết giới hạn của hàm số: Định lý và bài tập cụ thể

Giới hạn của dãy số là một khái niệm quan trọng trong toán học lớp 11, đóng vai trò nền tảng cho nhiều lĩnh vực khác như giải tích, đại số và hình học. Khái niệm này giúp ta nghiên cứu hành vi của dãy số khi số hạng tiến đến vô cùng, từ đó dự đoán giá trị mà dãy số sẽ tiệm cận.

Lý thuyết giới hạn của hàm số

Định nghĩa

Cho hàm số f(x) xác định trên tập K (trừ điểm x0), ta nói \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\) nếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ trong K và thỏa mãn xn ≠ x0 và \[\lim_{n \to \infty} x_n = x_0\] thì \[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = L\]

  • \(\lim_{x \to x_0} f(x) = L\)
  • f(x) → L khi x → x0

Tính chất

  • Tính chất cộng: Nếu \( \lim_{{x \to x_0}} u(x) = L \) và \(\lim_{x \to x_0} (u(x) + v(x)) = L + M\)
    thì \(\lim_{x \to x_0} (u(x) + v(x)) = L + M\)
  • Tính chất nhân: Nếu \(\lim_{x \to x_0} u(x) = L\) và \(\lim_{x \to x_0} k \neq 0\) thì \(\lim_{x \to x_0} (k \cdot u(x)) = k \cdot L\)
  • Tính chất chia: Nếu \(\lim_{x \to x_0} u(x) = L\) và \(\lim_{x \to x_0} v(x) ≠ 0\) thì \(lim_{x \to x_0} (u(x) / v(x)) = L / v(x0)\).

Dấu hiệu

Dấu hiệu Cauchy: Dãy số (f(xn)) có giới hạn L khi x → x0 nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho:

|f(x) – L| < ε với mọi x ∈ K thỏa mãn 0 < |x – x0| < δ

Giới hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa:

Cho hàm số f(x) xác định trên tập K (trừ điểm x0), ta nói lim_(x->∞) f(x) = L nếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ trong K và thỏa mãn xn → ∞ thì lim_(n->∞) f(xn) = L.

Ký hiệu:

  • \(\lim_{x \to ∞} f(x) = L\)
  • f(x) → L khi x → ∞

Ý nghĩa:

Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của f(x) tiến đến L.

Ví dụ:

  • \(\lim_{x \to ∞}x^2 = ∞\)
  • f(x) → L khi x → ∞
  • f(x) → L khi x → ∞ 
  • \(\lim_{x \to ∞} sin(x)\) không tồn tại
  • \(\lim_{x \to ∞} 1/x = 0\)

Tính chất:

  • Tính chất cộng: Nếu \(\lim_{x \to ∞}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to ∞}\) v(x) = M thì \(\lim_{x \to ∞}\) (u(x) + v(x)) = L + M.
  • Tính chất nhân: Nếu \(\lim_{x \to ∞}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to ∞}\) k ≠ 0 thì \(\lim_{x \to ∞}\) (k * u(x)) = k * L.
  • Tính chất chia: Nếu \(\lim_{x \to ∞}\) = L và \(\lim_{x \to ∞}\) v(x) ≠ 0 thì \(\lim_{x \to ∞}\) (u(x) / v(x)) = L / v(∞).

Giới hạn của hàm số là lim

Ký hiệu “lim” trong toán học được sử dụng để biểu diễn giới hạn của một hàm số hoặc dãy số. Khi nói đến giới hạn của hàm số f(x) khi x tiến đến một giá trị cụ thể (a), ta có hai dạng ký hiệu:

  • \(\lim_{x \to a}\) f(x) = L: Dấu hiệu này cho ta biết rằng khi x tiến dần đến a (nhưng không bằng a), giá trị của f(x) sẽ tiến dần đến L.
  • f(x) → L khi x → a: Đây là cách viết khác của ký hiệu “\(\lim_{x \to ∞}\) f(x) = L”.

Ví dụ:

  • \(\lim_{x \to 2}\) \(x^2 = 4\): Khi x tiến dần đến 2, giá trị của x^2 sẽ tiến dần đến 4.
  • sin(x) → 0 khi x → 0: Khi x tiến dần đến 0, giá trị của sin(x) sẽ tiến dần đến 0.

Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng ký hiệu “lim” để biểu diễn giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng:

  • \(\lim_{x \to ∞}\) f(x) = L: Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của f(x) sẽ tiến dần đến L.
  • f(x) → L khi x → ∞: Đây là cách viết khác của ký hiệu “\(\lim_{x \to ∞}\) f(x) = L”.

Ví dụ:

  • \(\lim_{x \to ∞}\)\(x^2\) = ∞: Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của x^2 sẽ tăng dần đến vô cùng.
  • 1/x → 0 khi x → ∞: Khi x tiến đến vô cùng, giá trị của 1/x sẽ tiến dần đến 0.

Các định lý về giới hạn của hàm số

Định lý cộng

Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) v(x) = M thì \(\lim_{x \to x_0}\) (u(x) + v(x)) = L + M.

Định lý nhân

Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) k ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) (k * u(x)) = k * L.

Định lý chia

Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L và \(\lim_{x \to x_0}\) v(x) ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) (u(x) / v(x)) = L / v(x0).

Định lý so sánh

Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) u(x) = L ≠ 0 thì \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / u(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / L.

Định lý liên quan đến giới hạn vô cùng

Nếu \(\lim_{x \to ∞}\) u(x) = ∞ thì \(\lim_{x \to ∞}\) f(x) / u(x) = \(\lim_{x \to ∞}\) f(x) / u(x0).

Định lý về tính liên tục

Hàm số f(x) liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) = f(x0).

Định lý về đạo hàm

Hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 nếu và chỉ nếu \(\lim_{h \to 0}\) (f(x0 + h) – f(x0)) / h = f'(x0).

Một số giới hạn đặc biệt

Giới hạn của lũy thừa

  • \(\lim_{x \to x_0}\) \((1 + x)^n = 1\) với mọi n (n là số nguyên dương)
  • \(\lim_{x \to ∞} x^n = ∞\) với mọi n (n là số nguyên dương)

Giới hạn của hàm số mũ

  • \(\lim_{x \to x_0} e^x = 1\)
  • \(\lim_{x \to x_0} e^x = ∞\)

Giới hạn của hàm số logarit

  • \(\lim_{x \to x_0}\) ln(x) = -∞
  • \(\lim_{x \to ∞}\) ln(x) = ∞

Giới hạn của hàm số lượng giác

  • \(\lim_{x \to x_0}\) sin(x) / x = 1
  • \(\lim_{x \to x_0}\) cos(x) = 1
  • \(\lim_{x \to ∞}\)v tan(x) = không tồn tại

Giới hạn của một số hàm số đặc biệt

  • \(\lim_{x \to x_0}\) sqrt(x) = 0
  • \(\lim_{x \to ∞}\) 1/x = 0

Các dạng toán giới hạn của hàm số và ví dụ

Tìm giới hạn của hàm số bằng định nghĩa

Khái niệm:

Giới hạn của hàm số f(x) tại x = a là L khi:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |x – a| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε

  1. Cách giải:
  • Bước 1: Cho ε > 0 tùy ý.
  • Bước 2: Tìm δ sao cho |x – a| < δ ⇒ |f(x) – L| < ε.
  • Bước 3: Chứng minh δ tồn tại.

Ví dụ:

Tìm \(\lim_{x \to 2}x^2\)

Giải:

Theo định nghĩa giới hạn, ta có:

∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho |x – 2| < δ ⇒ |x^2 – 4| < ε

Chọn δ = √ε. Khi đó, |x – 2| < δ ⇒ |x^2 – 4| = |(x – 2)(x + 2)| < 2δ = 2√ε < ε

Vậy \(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\)

Tìm giới hạn của hàm số dạng 0/0, ∞/∞

Ví dụ:

Tìm \(\lim_{x \to 0}\) sin(x) / x

Giải:

Ta có:

\(\lim_{x \to 0}\) sin(x) / x = 0/0

Sử dụng quy tắc l’Hôpital, ta có:

\(\lim_{x \to x_0}\) sin(x) / x = \(\lim_{x \to x_0}\) cos(x) / 1 = cos(0) = 1

Tìm giới hạn của hàm số dạng 0 nhân ∞

Khái niệm:

Dạng toán tìm giới hạn của hàm số dạng 0 nhân ∞ là dạng toán tìm giới hạn của hàm số có dạng f(x) = g(x) * h(x), với:

  • g(x) có \(\lim_{x \to a}\) g(x) = 0
  • h(x) có \(\lim_{x \to a}\) h(x) = ∞

Phương pháp giải:

Phương pháp 1: Quy tắc nhân

Nếu \(\lim_{x \to a}\) g(x) = L và \(\lim_{x \to a}\) h(x) = M (M ≠ 0), thì \(\lim_{x \to a}\) [g(x) * h(x)] = L * M.

Phương pháp 2: Biến đổi hàm số

Biến đổi hàm số f(x) về dạng khác,

Ví dụ:

Tìm \(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x)

Giải:

Ta có:

\(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x) = 0 * ∞

Sử dụng quy tắc nhân, ta có:

\(\lim_{x \to x_0}\) x * ln(1/x) = \(\lim_{x \to x_0}\) x * \(\lim_{x \to x_0}\) ln(1/x)

= \(\lim_{x \to x_0}\) x * \(\lim_{x \to x_0}\) (-ln(x))

= \(\lim_{x \to x_0}\) -x * ln(x)

= -∞

Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định

Nếu \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) g(x) = 0 (hoặc ∞) thì \(\lim_{x \to x_0}\) f(x) / g(x) = \(\lim_{x \to x_0}\) f'(x) / g'(x) (nếu f'(x) / g'(x) tồn tại).

Ví dụ:

Tìm \(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1)\)

Giải:

Ta có:

\(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1) = ∞/∞\)

Sử dụng quy tắc chia, ta có:

\(\lim_{x \to ∞} (x^2 + 1) / (x^2 – 1)\) = \(\lim_{x \to ∞}(x^2 + 1) / (x^2 – 1) * 1/x^2\)

=\(\lim_{x \to ∞}(1 + 1/x^2) / (1 – 1/x^2)\)

= 1

Tìm giới hạn của hàm số có dạng phức tạp

Ví dụ:

Tìm \(\lim_{x \to π/2}\) (tan(x) – 1) / (x – π/2) \(\lim_{x \to π/2}\)

Giải:

Ta có:

\(\lim_{x \to π/2}\) (tan(x) – 1) / (x – π/2) = 0/0

Sử dụng quy tắc l’Hôpital, ta có:

\(\lim_{x \to π/2}\) (tan(x) – 1) / (x – π/2) = \(\lim_{x \to π/2}sec^2(x) / 1\)

= \(sec^2(π/2)\)

= ∞

Bài tập về giới hạn của dãy số có lời giải

Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + 1) / (n^2 – 1)\)

Lời giải:

Ta có:

\(\lim_{n \to ∞}\) un = \(\lim_{n \to ∞}(n^2 + 1) / (n^2 – 1)\)

= \(\lim_{n \to ∞} (1 + 1/n^2) / (1 – 1/n^2)\)

= 1

Bài 2: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (-1)^n * n\)

Lời giải:

Ta có:

  • Nếu n chẵn, un = n
  • Nếu n lẻ, un = -n

Vì \(\lim_{n \to ∞}\) n = ∞ và \(\lim_{n \to ∞}\) (-n) = -∞, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (-1)^n * n không tồn tại.

Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = (sin(nπ/2)) / n

Lời giải:

Ta có:

  • Khi n chẵn, un = 0
  • Khi n lẻ, un = 1/n

Vì \(\lim_{n \to ∞}\) 1/n = 0, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (sin(nπ/2)) / n = 0

Bài 4: Tìm giới hạn của dãy số (un) với un = (1 + 1/2 + … + 1/n) / n

Lời giải:

Ta có:

  • 1 + 1/2 + … + 1/n = (1 – 1/n+1) + (1 – 1/n+2) + … + (1 – 1/n) = n – 1
  • Do đó, un = (n – 1) / n = 1 – 1/n

Vì \(\lim_{n \to ∞}\) 1/n = 0, nên \(\lim_{n \to ∞}\) (1 + 1/2 + … + 1/n) / n = 1

Bài 5: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 1)\)

Lời giải:

Ta có:

\(\lim_{n \to ∞}\) un = \(\lim_{n \to ∞}(n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 1)\)

= \(\lim_{n \to ∞} (1 + 2/n + 3/n^2 + 1/n^3) / (1 + 2/n + 1/n^2 + 1/n^3)\)

= 1

Bài tập tự luyện về giới hạn của dãy số

Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + 1) / (n^3 + 1)\)

Bài 2: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (-1)^n * n^2\)

Bài 3: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (cos(nπ)) / n\)

Bài 4: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (1 + 1/2 + … + 1/n) / (n + 1)\)

Bài 5: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^3 + 2n^2 + 3n + 1) / (n^3 + 2n^2 + n + 2)\)

Bài 6: Tìm giới hạn của dãy số (un) với \(un = (n^2 + sin(nπ)) / (n^2 + cos(nπ))\)

Hiểu rõ giới hạn của dãy số giúp ta giải quyết nhiều bài toán thực tế, ví dụ như tính tổng vô hạn, tính diện tích, thể tích của các hình cong phức tạp, hay mô hình hóa các hiện tượng biến đổi trong tự nhiên. Việc nắm vững các định lý, quy tắc tính giới hạn và áp dụng linh hoạt vào bài toán là điều kiện cần thiết để học tốt môn Toán lớp 11 và các môn học liên quan.