Lý thuyết liên hệ giữa cung và dây - Toán lớp 9

Cung trong đường tròn là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn. Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn. Kiến thức về cung và dây là nền tảng cơ bản để học tập các môn toán học, vật lý, kỹ thuật và được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực thực tế như đo lường, tính toán, thiết kế và xây dựng.

Bài viết này sẽ đi sâu vào phân tích các tính chất của cung và dây trong đường tròn, bao gồm mối quan hệ giữa độ dài cung, độ lớn cung, góc nội tiếp, góc trung tâm và bán kính đường tròn. Chúng ta cũng sẽ khám phá các ứng dụng thực tế của cung và dây trong các lĩnh vực khác nhau.

Định nghĩa cung và dây trong đường tròn

Cung:

• Cung là một phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm A và B trên đường tròn.
• Hai điểm A và B được gọi là hai đầu mút của cung.
• Ký hiệu: AB (không bao gồm dấu ngoặc) hoặc \(\stackrel{\frown}{AB}\) (bao gồm dấu ngoặc).

Dây cung:

• Dây cung là đoạn thẳng nối hai điểm A và B trên đường tròn.
• Dây cung là tập hợp tất cả các điểm trên \(\stackrel{\frown}{AB}\).
• Ký hiệu: \(\stackrel{\frown}{AB}\).

Phân loại cung:

• Cung nhỏ: Cung có độ lớn nhỏ hơn \(180^\circ\).
• Cung lớn: Cung có độ lớn lớn hơn hoặc bằng \(180^\circ\).
• Cung nửa đường tròn: Cung có độ lớn bằng \(180^\circ\).

Độ lớn cung:

• Độ lớn cung là số đo của góc nội tiếp chắn cung đó.
• Góc nội tiếp là góc được tạo bởi hai bán kính đi qua hai đầu mút của cung.

Mối quan hệ giữa dây và cung

 Mối quan hệ về độ dài:

• Cung có độ lớn bằng nhau căng dây bằng nhau.
• Dây cung càng dài thì cung căng bởi dây đó càng lớn.
• Độ dài cung nhỏ hơn nửa đường tròn:

       Độ dài cung: \(AB = \left( \frac{AB}{360^\circ} \right) \times 2\pi R
\)

• Độ dài cung lớn hơn nửa đường tròn:

                  Độ dài cung \(AB = \left( \frac{360^\circ – {AB}}{360^\circ} \right) \times 2\pi R\)

Mối quan hệ về góc:

• Góc nội tiếp: Góc được tạo bởi hai dây cung cắt nhau tại một điểm bên trong đường tròn.
• Góc trung tâm: Góc được tạo bởi hai bán kính đi qua hai điểm A và B trên đường tròn.
• Góc nội tiếp cùng chắn một cung có độ lớn bằng nhau.
• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có độ lớn là \(90^\circ\).
• Góc trung tâm có độ lớn bằng hai lần độ lớn cung bị chắn.

Mối quan hệ giữa cung và góc nội tiếp

Mối quan hệ giữa cung và góc nội tiếp là một khía cạnh quan trọng trong hình học hình tròn và được áp dụng rộng rãi trong tính toán và phân tích các đặc điểm của hình tròn và các hình dạng liên quan. Để hiểu rõ hơn về mối quan hệ này, hãy xem xét các điểm sau:

Định nghĩa cơ bản:

• Cung: Là một phần của đường tròn giới hạn bởi hai điểm trên đường tròn.
• Góc nội tiếp: Là góc được tạo ra bởi hai dây của đường tròn, khi chúng gặp nhau ở một điểm nằm trên đường tròn.

Mối quan hệ góc – cung:

• Khi một góc được tạo ra bởi hai dây cắt nhau trên đường tròn, góc đó được gọi là góc nội tiếp.
• Góc nội tiếp này có một quan hệ với cung mà nó “bao phủ” (hoặc chia thành hai phần).
• Quan hệ cụ thể giữa góc nội tiếp và cung là góc đó đều bằng một nửa góc tương ứng với cung khi góc được đo ở trung tâm của đường tròn.
• Điều này ngụ ý rằng nếu bạn biết độ lớn của một góc nội tiếp, bạn có thể suy ra độ dài của cung tương ứng và ngược lại.

Mối quan hệ giữa cung và góc trung tâm

Định nghĩa:

• Cung: Phần của đường tròn được giới hạn bởi hai điểm A và B trên đường tròn.
• Góc trung tâm: Góc được tạo bởi hai bán kính OA và OB đi qua hai điểm A và B trên đường tròn.
• Ký hiệu:\(\angle AOB\)
  

Mối quan hệ về độ lớn:

Góc trung tâm có độ lớn bằng hai lần độ lớn cung bị chắn.

Công thức:

Độ lớn cung AB = \(\frac{\angle AOB}{2}\)

\(\angle {AOB}\) = 2 x độ lớn \(\stackrel{\frown}{AB}\)

Ví dụ:

• Cho đường tròn (O; R) và \(\stackrel{\frown}{AB}\). \(\angle {AOB}\) là góc trung tâm chắn \(\stackrel{\frown}{AB}\).
• Nếu \(\angle {AOB}\) = \(60^\circ\) thì độ lớn cung AB = \(\frac{60^\circ}{2}
  \) = \(30^\circ\).
• Nếu độ lớn \(\stackrel{\frown}{AB}\) = \(45^\circ\) thì \(\angle AOB\)= 2 x\(45^\circ\) = \(90^\circ\)

Hệ quả:

• Cung có độ lớn bằng nhau chắn các góc trung tâm bằng nhau.
• Góc trung tâm chắn cung lớn hơn thì lớn hơn góc trung tâm chắn cung nhỏ hơn.

Hệ thức lượng trong tam giác nội tiếp

Định nghĩa:

• Tam giác nội tiếp: Tam giác có ba đỉnh nằm trên đường tròn.
• Hệ thức lượng: Các công thức liên hệ giữa cạnh, góc và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác nội tiếp.

Các hệ thức lượng:

\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = 2R \\
R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} \\
a^2 = b^2 + c^2 – 2bc\cos A \\
b^2 = a^2 + c^2 – 2ac\cos B \\
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab\cos C
\)

Ý nghĩa:

• Hệ thức lượng giúp tính toán các yếu tố của tam giác nội tiếp khi biết một số yếu tố khác.
• Hệ thức lượng có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học.

Ví dụ:

• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết AB = 5 cm, AC = 7 cm và BC = 8 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.
• Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết \(\angle {A}\) = \(60^\circ\), \(\angle {B}\) = \(75^\circ\) và BC = 10 cm. Tính độ dài cạnh AC.

Hệ quả:

Công thức diện tích:

\(S = \frac{abc}{4R}\)

Công thức đường trung tuyến:

ma = b + c – 2a

mb = a + c – 2b

mc = a + b – 2c

Công thức đường cao:

ha = 2R cos A

hb = 2R cos B

hc = 2R cos C

Các dạng bài tập liên quan 

Dạng 1: Tính độ dài cạnh, góc, bán kính đường tròn nội tiếp khi biết các yếu tố khác.

Cách giải:

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác nội tiếp.

Sử dụng các công thức lượng giác để tính toán.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Biết AB = 5 cm, AC = 7 cm và BC = 8 cm. Tính bán kính đường tròn nội tiếp.

Giải:

Áp dụng hệ thức lượng:\(\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = 2R\)

Ta có: SinA =\(\frac{{b^2 + c^2 – a^2}}{{2bc}} = \frac{{7^2 + 8^2 – 5^2}}{{2 \times 7 \times 8}} = \frac{3}{4}\)

Suy ra: R = \(\frac{a}{2} \sin A = \frac{5}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{15}{8} \, \text{cm}\)

Dạng 2: Chứng minh tam giác nội tiếp.

Cách giải:

Chứng minh các yếu tố của tam giác thỏa mãn điều kiện nội tiếp.

Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác nội tiếp.

Ví dụ:

Cho tam giác ABC có BC = 8 cm, AC = 6 cm và AB = 7 cm. Chứng minh rằng tam giác ABC nội tiếp đường tròn.

Giải:

Ta có: \(BC^2 + AC^2 = AB^2 \quad (6^2 + 8^2 = 7^2)\)

Suy ra: Tam giác ABC vuông tại A.

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Ta có: OA = OB = OC (bán kính đường tròn ngoại tiếp)

Suy ra: \(\angle {AOC}\) = \(\angle {OBC}\) = 90°

Vậy, tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).

Qua việc khám phá sự liên hệ này, chúng ta có thể dễ dàng suy ra độ dài của cung khi biết độ lớn của góc nội tiếp và ngược lại. Điều này không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu hơn về hình dạng hình tròn mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như toán học, vật lý và kỹ thuật. Sự tương quan giữa cung và góc nội tiếp mở ra một cánh cửa mới cho sự hiểu biết và sáng tạo trong nghiên cứu và ứng dụng thực tiễn.