Lý thuyết tỉ số lượng giác của góc nhọn - Toán lớp 9

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 9. Nó đóng vai trò thiết yếu trong việc giải quyết các bài toán tam giác vuông, ứng dụng vào thực tế và mở ra cánh cửa đến với những lĩnh vực toán học cao hơn.

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức nền tảng vững chắc về khái niệm, tính chất và ứng dụng của tỉ số lượng giác, giúp bạn chinh phục chủ đề này một cách hiệu quả.

Định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn 

Tỉ số lượng giác của góc nhọn là tỉ số giữa hai cạnh của tam giác vuông có góc kề bằng góc nhọn đó với cạnh huyền.

Ký hiệu:

• Sinα: ký hiệu cho sin của góc α
• Cosα: ký hiệu cho cos của góc α
• Tanα: ký hiệu cho tan của góc α
• Cotα: ký hiệu cho cot của góc α

Công thức:

• Sinα = \(\frac{a}{c}\)
• Cosα = \(\frac{b}{c}\)
• Tanα = \(\frac{a}{b}\)
• Cotα = \(\frac{b}{a}\)

Trong đó:

α là góc nhọn

a, b, c là độ dài cạnh đối diện, cạnh kề và cạnh huyền tương ứng với góc α

Các loại tỉ số lượng giác trong tam giác

Các loại tỉ số lượng giác:

• Sin (sinus): Tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh huyền.
• Cos (cosinus): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền.
• Tan (tangens): Tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh kề.
• Cot (cotangents): Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối diện.

Ký hiệu:

• Sinα: ký hiệu cho sin của góc α
• Cosα: ký hiệu cho cos của góc α
• Tanα: ký hiệu cho tan của góc α
• Cotα: ký hiệu cho cot của góc α

Công thức:

• Sinα = \(\frac{a}{c}\)
• Cosα = \(\frac{b}{c}\)
• Tanα = \(\frac{a}{b}\)
• Cotα = \(\frac{b}{a}\)

Trong đó:

• α là góc nhọn
• a, b, c là độ dài cạnh đối diện, cạnh kề và cạnh huyền tương ứng với góc α

Các tỉ số lượng giác này cung cấp cho chúng ta thông tin quan trọng về mối quan hệ giữa các cạnh và góc trong tam giác, và chúng thường được sử dụng để tính toán các giá trị góc và độ dài trong các bài toán hình học và toán học ứng dụng.

Hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác là những mối liên hệ giữa các cạnh, góc và đường cao của tam giác bất kỳ.

Định lí sin:

Trong tam giác bất kỳ, tỉ số giữa sin của một góc và độ dài cạnh đối diện với góc đó bằng nhau.

Công thức:

a/sinA = b/sinB = \(\frac{c}{sinC}\) = 2R

Trong đó:

• a, b, c là độ dài cạnh BC, AC, AB
• A, B, C là các góc tương ứng
• R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định lí cos:

Trong tam giác bất kỳ, bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó với cosin của góc xen giữa chúng.

Công thức:

\(a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cdot \cos A\)
\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cdot \cos B\)
\(c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cdot \cos C\)

Mối liên hệ giữa các tỉ số lượng giác

Hệ thức cơ bản:

\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
\(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)

Hệ thức liên hệ giữa sin, cos và tan:

\(\sin \alpha = \sqrt{1 – \cos^2 \alpha}\)
\(\cos \alpha = \sqrt{1 – \sin^2 \alpha}\)
\(\tan \alpha = \frac{1}{\cot \alpha}\)

Hệ thức liên hệ giữa sin, cos và cot:

\(\sin \alpha = \cos \alpha \cdot \tan \alpha\)
\(\cos \alpha = \frac{\sin \alpha}{\tan \alpha}\)
\(\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\)

Hệ thức liên hệ giữa tan và cot:

Tanα.Cotα = 1

Ví dụ:

Cho tam giác ABC vuông tại A, với AB = 3 cm và AC = 4 cm. Tính sinB, cosB và tanB.

Giải:

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}\)
\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}\)
\(\tan B = \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{4}{3}\)

Dạng bài tập liên quan

Cho tam giác ABC với AB = 6 cm, AC = 8 cm và BC = 10 cm. Tính sinB.

Giải:

Theo định lí sin:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\)
\(\Rightarrow \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{8 \cdot \sin A}{6} = \frac{4}{3} \cdot \sin A\)
\(\text{Vì } \sin^2 A + \cos^2 A = 1\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9} \cdot \sin^2 A + \cos^2 A = 1\)
\(\Rightarrow \cos^2 A = \frac{5}{9}\)
\(\Rightarrow \cos A = \sqrt{\frac{5}{9}}\)

Theo định lí cos:

\(b^2 = a^2 + c^2 – 2ac \cdot \cos B\)
\(\Rightarrow \sin^2 B = \frac{{a^2 + c^2 – b^2}}{{2ac}}\)
\(\Rightarrow \left(\frac{{4}}{{3}} \cdot \sin A\right)^2 = \frac{{6^2 + 8^2 – 10^2}}{{2 \cdot 6 \cdot 8}}\)
\(\Rightarrow \sin^2 A = \frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow \sin A = \frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \sin B = \frac{4}{3} \cdot \sin A = \frac{4}{9}\)

Tóm lại, tỉ số lượng giác là một chủ đề quan trọng và hữu ích trong toán học. Nắm vững kiến thức về tỉ số lượng giác sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán tam giác vuông một cách hiệu quả, đồng thời mở ra cánh cửa đến với những lĩnh vực toán học cao hơn và ứng dụng vào thực tế. Hãy dành thời gian nghiên cứu và luyện tập để làm chủ chủ đề này, bạn nhé!