Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương -Toán học lớp 9

Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức là hai chủ đề quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Bài viết này sẽ mở ra cái nhìn sâu sắc hơn về mối quan hệ này, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cách thức hai phép toán này tương tác và hỗ trợ lẫn nhau trong quá trình giải toán, từ đó mở rộng ứng dụng và nâng cao hiệu quả giải quyết các vấn đề toán học.

Quy tắc căn bậc hai

Khái niệm căn bậc hai:

Căn bậc hai của một số a là số x sao cho \(x^2\)= a.

Ký hiệu:

Căn bậc hai của a được ký hiệu là  \(\sqrt{a}\).

Ví dụ: \(\sqrt{4} = 2 vì 2^2\) = 4

Quy tắc căn bậc hai:

a) Quy tắc khai phương một tích:

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

Ký hiệu:

  \(\sqrt{ab}\) =  \(\sqrt{a}\). \(\sqrt{b}\).

Ví dụ:

 \(\sqrt{16.9}\) =  \(\sqrt{16}\). \(\sqrt{9}\) = 4.3=12

b) Quy tắc nhân các căn bậc hai:

Muốn nhân các căn bậc hai của những số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đó.

Ký hiệu:

  \(\sqrt{a}\). \(\sqrt{b}\) =  \(\sqrt{ab}\) 

Ví dụ:

\(\sqrt{16}\). \(\sqrt{9}\)  =  \(\sqrt{16.9}\)=  \(\sqrt{144}\) = 12

Quy tắc khai phương một tích

Định nghĩa:

Muốn khai phương một tích của những số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau.

Ký hiệu:

Quy tắc khai phương một tích được ký hiệu như sau:

  \(\sqrt{ab}\) =  \(\sqrt{a}\). \(\sqrt{b}\).

Ví dụ:

 \(\sqrt{16.9}\) =  \(\sqrt{16}\). \(\sqrt{9}\) = 4.3=12

 \(\sqrt{25:4}\) =  \(\sqrt{25}\): \(\sqrt{4}\) = 5:2 = 2,5

Lưu ý:

Quy tắc khai phương một tích chỉ áp dụng cho những số không âm.

Khi sử dụng quy tắc khai phương một tích, cần lưu ý điều kiện xác định của các biểu thức.

Ví dụ áp dụng:

Rút gọn biểu thức: 

 \(\sqrt{36:4}\) =  \(\sqrt{36}\): \(\sqrt{4}\) = 6:2 = 3

So sánh:

 \(\sqrt{4}\) :  \(\sqrt{9}\) và  \(\sqrt{4:9}\)

\(\sqrt{4}\) :  \(\sqrt{9}\) = \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)

 \(\sqrt{4:9}\) = \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Do đó: \(\sqrt{4}\) :  \(\sqrt{9}\) =  \(\sqrt{4:9}\)

Quy tắc phân phối trong phép nhân và phép khai phương

Quy tắc phân phối trong phép nhân:

a) Quy tắc nhân một số với một tổng:

a(b + c) = ab + ac

Ví dụ:  3(2 + 5) = 3.2 + 3.5 = 6 + 15 = 21

b) Quy tắc nhân một tổng với một tổng:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Ví dụ:

(2 + 3)(4 + 5) = 2.4 + 2.5 + 3.4 + 3.5 = 8 + 10 + 12 + 15 = 45

Quy tắc phân phối trong phép khai phương:

a) Quy tắc khai phương một tổng:

\(
\text{a) Quy tắc khai phương một tổng:} \\
\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{4 + 9} \neq \sqrt{4} + \sqrt{9} \\
\sqrt{13} \neq 2 + 3 \\
\text{b) Quy tắc khai phương một hiệu:} \\
\sqrt{a – b} \neq \sqrt{a} – \sqrt{b} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{9 – 4} \neq \sqrt{9} – \sqrt{4} \\
\sqrt{5} \neq 3 – 2 \\
\text{Tuy nhiên, ta có thể áp dụng quy tắc phân phối trong phép khai phương với một số trường hợp đặc biệt:} \\
\text{Khai phương một tổng hai số không âm:} \\
\sqrt{a^2 + 2ab + b^2} = \sqrt{a^2} + \sqrt{2ab} + \sqrt{b^2} = a + b \text{ (với } a, b \geq 0\text{)} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + 5^2} = \sqrt{4^2} + \sqrt{2 \cdot 4 \cdot 5} + \sqrt{5^2} = 4 + 5 + 5 = 14 \\
\text{Khai phương một hiệu hai số không âm:} \\
\sqrt{a^2 – 2ab + b^2} = \sqrt{a^2} – \sqrt{2ab} + \sqrt{b^2} = a – b \text{ (với } a \geq b \geq 0\text{)} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{9^2 – 2 \cdot 9 \cdot 4 + 4^2} = \sqrt{9^2} – \sqrt{2 \cdot 9 \cdot 4} + \sqrt{4^2} = 9 – 4 + 4 = 9 \\
\text{Ví dụ áp dụng:} \\
\text{Rút gọn: } \sqrt{16 + 9} \\
\sqrt{16 + 9} \neq \sqrt{16} + \sqrt{9} \\
\sqrt{25} \neq 4 + 3 \\
\text{So sánh: } \sqrt{25 – 9} \text{ và } \sqrt{25} – \sqrt{9} \\
\sqrt{25 – 9} \neq \sqrt{25} – \sqrt{9} \\
\sqrt{16} \neq 5 – 3
\)
Lưu ý:

Cần ghi nhớ các quy tắc phân phối trong phép nhân và phép khai phương.

Cần lưu ý điều kiện áp dụng của các quy tắc này.

Sử dụng phép nhân để đơn giản hóa phép khai phương

Phương pháp:

Phân tích thừa số:

Ta có thể phân tích thừa số biểu thức dưới dấu căn thành các tích của các số không âm. Sau đó, áp dụng quy tắc khai phương một tích để rút gọn biểu thức.

Ví dụ:

\(
\sqrt{16} = \sqrt{4 \times 4} = \sqrt{4} \times \sqrt{4} = 2 \times 2 = 4 \\
\text{Biến đổi biểu thức:} \\
\text{Ta có thể biến đổi biểu thức dưới dấu căn thành dạng } a^2 + 2ab + b^2 \text{ hoặc } a^2 – 2ab + b^2 \text{ (với } a, b \geq 0\text{) để áp dụng quy tắc khai phương một tổng hoặc một hiệu.} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{9 + 12 + 4} = \sqrt{3^2 + 2 \times 3 \times 2 + 2^2} = \sqrt{3^2} + \sqrt{2 \times 3 \times 2} + \sqrt{2^2} = 3 + 2 + 2 = 7 \\
\text{Ví dụ áp dụng:} \\
\text{Rút gọn: } \sqrt{36 + 24 + 9} \\
\sqrt{36 + 24 + 9} = \sqrt{6^2 + 2 \times 6 \times 2 + 2^2} = \sqrt{6^2} + \sqrt{2 \times 6 \times 2} + \sqrt{2^2} = 6 + 2 + 2 = 10 \\
\text{So sánh: } \sqrt{25 – 16} \text{ và } \sqrt{25} – \sqrt{16} \\
\sqrt{25 – 16} = \sqrt{5^2 – 4^2} = \sqrt{(5 + 4) \times (5 – 4)} = \sqrt{9 \times 1} = 3 \\
\sqrt{25} – \sqrt{16} = 5 – 4 = 1 \\
\text{Vì } 3 > 1 \text{ nên } \sqrt{25 – 16} > \sqrt{25} – \sqrt{16}
\)
Lưu ý:

• Cần cẩn thận khi sử dụng phương pháp này để tránh sai sót.
• Cần đảm bảo các điều kiện áp dụng của các quy tắc khai phương.

Phép khai phương của một lũy thừa

Với a là số không âm và n là số nguyên dương, ta có:

\(
\sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}} \\
\text{Chứng minh:} \\
\text{Cách 1:} \\
\text{Ta có:} \\
(\sqrt{a})^2 = a \\
(a^{\frac{n}{2}})^2 = a^n \\
\text{Do đó, } \sqrt{a^n} = a^{\frac{n}{2}}. \\
\text{Cách 2:} \\
\text{Xét hai trường hợp:} \\
\text{Trường hợp 1: n chẵn} \\
\text{Khi n chẵn, ta có thể viết n = 2k (với k là số nguyên dương)} \\
\text{Do đó, } \sqrt{a^n} = \sqrt{a^{2k}} = \sqrt{(a^k)^2} = a^k = a^{\frac{n}{2}} \\
\text{Trường hợp 2: n lẻ} \\
\text{Khi n lẻ, ta có thể viết n = 2k + 1 (với k là số nguyên dương)} \\
\text{Do đó, } \sqrt{a^n} = \sqrt{a^{2k + 1}} = \sqrt{a^k \cdot a} = a^k \cdot \sqrt{a} = a^{\frac{n}{2}} \\
\text{Ví dụ:} \\
\sqrt{16^2} = 16^{\frac{2}{2}} = 16^1 = 16 \\
\sqrt{81} = 81^{\frac{1}{2}} = 9
\)
Lưu ý:

Định lý chỉ áp dụng cho số a không âm và số nguyên dương n.

Khi sử dụng phép khai phương của một lũy thừa, cần lưu ý điều kiện áp dụng của định lý.

Áp dụng:

 \(
\text{Rút gọn biểu thức: } \sqrt{25^3} \\
\sqrt{25^3} = 25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3 = 125 \\
\text{So sánh: } \sqrt{16^4} \text{ và } (\sqrt{16})^4 \\
\sqrt{16^4} = 16^{\frac{4}{2}} = 16^2 = 256 \\
(\sqrt{16})^4 = 4^4 = 256 \\
\text{Do đó, } \sqrt{16^4} = (\sqrt{16})^4.
\)

Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương là một công cụ hữu ích giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả. Hiểu rõ và áp dụng linh hoạt mối liên hệ này sẽ giúp học sinh đạt kết quả tốt trong học tập.