Hoán vị: Phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp

Hoán vị là một chủ đề hay gây khó khăn cho học sinh lớp 11. Bài viết này ra đời nhằm mục đích giúp các bạn hiểu rõ hơn về hoán vị, từ đó có thể giải quyết các bài tập một cách hiệu quả. Bài viết sẽ cung cấp cho các bạn kiến thức về các dạng bài tập thường gặp, phương pháp giải và các bí kíp để giải nhanh và chính xác.

Khái niệm hoán vị

Cho n phần tử khác nhau (n >= 1) Mỗi cách sắp thứ tự của n phần tử đã cho, mà trong đó mỗi phần tử có mặt đúng một lần, được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Định lí

Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho n >= 1 được kí hiệu là Pn và bằng:

\(Pn = n(n – 1)(n – 2) …2.1=n!\)

Ví dụ:

Tính số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 6 phần tử.

Vậy số cách xếp 6 bạn học sinh thành một hàng dọc là P6 = 6! = 720

Biểu diễn hoán vị: Có nhiều cách biểu diễn hoán vị, trong đó phổ biến nhất là viết dưới dạng dãy hoán vị hoặc sử dụng biểu đồ hoán vị.

Số lượng hoán vị: Đối với một tập hợp gồm n phần tử, có tổng cộng n! hoán vị, trong đó n! là tích của tất cả các số nguyên từ 1 đến n.

Hoán vị phần tử lặp lại: Trong một hoán vị, các phần tử có thể được lặp lại hoặc không. Khi các phần tử lặp lại, chúng ta cần tính số lần xuất hiện của mỗi phần tử để xác định số lượng hoán vị.

Tính chất của hoán vị

  • Giao hoán

Với hai hoán vị bất kỳ P và Q, ta luôn có:

\(P ∩ Q = Q ∩ P\)

  • Kết hợp

Với ba hoán vị bất kỳ P, Q và R, ta luôn có:

\((P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R)\)

Ví dụ

1) Có 5 học sinh tham gia một cuộc thi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp hạng 3 vị trí đầu tiên?

Lời giải:

Có 5 cách chọn học sinh cho vị trí thứ nhất, 4 cách chọn học sinh cho vị trí thứ hai và 3 cách chọn học sinh cho vị trí thứ ba.

Do đó, có 5 x 4 x 3 = 60 cách xếp hạng 3 vị trí đầu tiên.

2) Một công ty có 10 nhân viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 nhân viên đi công tác?

Lời giải:

Có 10 cách chọn nhân viên thứ nhất, 9 cách chọn nhân viên thứ hai và 8 cách chọn nhân viên thứ ba.

Do đó, có 10 x 9 x 8 = 720 cách chọn 3 nhân viên đi công tác.

Bài tập hoán vị có lời giải chi tiết

Bài 1: Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là

  1. 24
  2. 120
  3. 60
  4. 16

Lời giải:

Xếp bạn Chi ngồi giữa có 1 cách.

Số cách xếp 4 bạn sinh An, Bình, Dũng, Lệ vào 4 chỗ còn lại là một hoán vị của 4 phần tử nên có có 4! = 24 cách.

Vậy có 1.24 = 24 cách xếp.

Chọn đáp án A

Bài 2: Có 3 viên bi đen khác nhau, 4 viên bi đỏ khác nhau, 5 viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?

  1. 345600
  2. 725760

C.103680

D.518400

Lời giải:

Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là 3!

Số cách xếp 3 viên bi đen khác nhau thành dãy là 3!

Số cách xếp 4 viên bi đỏ khác nhau thành dãy là 4!

Số cách xếp 5 viên bi xanh khác nhau thành dãy là 5!

⇒ Số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là 3!. 3!. 4!. 5! = 103680 cách.

Chọn đáp án C

Bài 3: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài?

A.15

  1. 720
  2. 30
  3. 360

Lời giải:

Số cách xếp khác nhau cho 4 người ngồi vào 6 chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử.

Suy ra có cách.

Chọn đáp án D

Bài 4: Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người, cần chọn ra 3 người vào ban thường vụ. Nếu cần chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn?

  1. 210
  2. 200
  3. 180
  4. 150

Lời giải:

Số cách chọn ban thường vụ gồm ba chức vụ bí thư, phó bí thư, ủy viên thường vụ từ 7 người là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử.

Vậy có .

Chọn đáp án A

Bài 5: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh công cộng toàn trường, hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?

A.9880

  1. 59280
  2. 2300
  3. 455

Bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về hoán vị lớp 11. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hãy tiếp tục luyện tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.