Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian: Khái niệm và bài tập cụ thể

Hệ tọa độ trong không gian là một hệ thống gồm ba trục tọa độ vuông góc với nhau, được dùng để xác định vị trí của một điểm trong không gian. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về hệ tọa độ trong không gian lớp 12, bao gồm khái niệm, tính chất, phương pháp giải và các dạng bài tập thường gặp.

Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

Khái niệm hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ trong không gian là một hệ thống gồm ba trục tọa độ vuông góc với nhau, được dùng để xác định vị trí của một điểm trong không gian.

Các loại hệ tọa độ

  • Hệ tọa độ vuông góc Oxyz: là hệ tọa độ được sử dụng phổ biến nhất, gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung gốc O.
  • Hệ tọa độ phi vuông góc: là hệ tọa độ có các trục tọa độ không vuông góc với nhau.

Các yếu tố của hệ tọa độ

  • Gốc tọa độ O: là điểm chung của ba trục tọa độ.
  • Trục tọa độ: là ba đường thẳng vuông góc với nhau, được ký hiệu là Ox, Oy, Oz.
  • Chiều dương của trục tọa độ: được quy ước bằng một mũi tên.
  • Đơn vị đo: là đơn vị được sử dụng để đo độ dài trên các trục tọa độ.

Tọa độ của điểm

Tọa độ của một điểm M trong không gian Oxyz là bộ ba số (x; y; z) được xác định như sau:

  • x là hoành độ của M, là khoảng cách từ M đến trục Oy.
  • y là tung độ của M, là khoảng cách từ M đến trục Ox.
  • z là cao độ của M, là khoảng cách từ M đến mặt phẳng Oxy.

Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ứng dụng

Hệ tọa độ trong không gian được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như:

  • Toán học: để giải các bài toán hình học không gian.
  • Vật lý: để mô tả chuyển động của các vật thể trong không gian.
  • Kỹ thuật: để thiết kế và chế tạo các sản phẩm cơ khí.
  • Tin học: để đồ họa máy tính và mô phỏng không gian.

Bài tập về hệ tọa độ trong không gian có lời giải chi tiết

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có A(-2; 1; 3), B(1; -1; 2), C(4; 0; -1), D(0; 2; 1).

  1. a) Chứng minh rằng tứ diện ABCD là tứ diện.
  2. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.

Giải

  1. a) Sử dụng công thức tính độ dài vectơ để chứng minh AB, AC, AD, BC, BD, CD đều khác 0.
  2. b) Sử dụng công thức tính tọa độ trọng tâm G của tứ diện.

Bài 2: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB.

  • Biểu diễn vectơ AB.
  • Sử dụng vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng vuông góc với AB.
  • Lập phương trình mặt phẳng đi qua A và có vectơ pháp tuyến n.

Bài 3: Cho mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0\)

  1. a) Tìm tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
  2. b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(1; 2; 3).

Giải

  1. a) So sánh phương trình mặt cầu với dạng tổng quát để tìm tâm I và bán kính R.
  2. b) Sử dụng vectơ IM để lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M.

Bài tập tự giải về hệ tọa độ trong không gian

Bài 1: Cho điểm A(1; 2; 3) và vectơ u = (2; 4; 6). Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với vectơ u.

Bài 2: Cho hai điểm A(1; 2; 3) và B(4; 5; 6). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.

Bài 3: Cho mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 2y – 6z + 5 = 0\). Viết phương trình đường thẳng đi qua tâm I của mặt cầu (S) và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho MN = 2R (R là bán kính của mặt cầu).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có S(1; 2; 3), A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0) và D(0; 1; 0). Tìm tọa độ điểm M trên cạnh SC sao cho SM = 2MC.

Bài viết đã cung cấp cho bạn hệ thống kiến thức đầy đủ về hệ tọa độ trong không gian lớp 12. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hãy tiếp tục luyện tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.