Hàm số mũ là một trong những hàm số cơ bản và quan trọng nhất trong toán học. Hàm số mũ có nhiều ứng dụng trong thực tế, như trong lĩnh vực kinh tế, tài chính, khoa học máy tính, v.v. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm, tính chất, đồ thị và ứng dụng của hàm số mũ.
Hàm số mũ là gì?
Hàm số mũ là hàm số có dạng y=ax, trong đó:
- a là số thực dương khác 1, được gọi là cơ số của hàm số.
- x là biến số thực.
Ví dụ:
- y=2x là hàm số mũ với cơ số a=2.
- y=ex là hàm số mũ với cơ số a=e (số Euler).
Tính chất
Xét hàm số \(y = a^x\) với a > 0, a ≠ 1
Đồ thị hàm số mũ
Đây là là phần kiến thức quan trọng và cũng là dạng bài tập rất phổ biến trong chương trình học và các đề thi, xuất hiện ở nhiều dạng cơ bản lên đến vận dụng cao. Để biết được hàm số mũ đồng biến khi nào, hàm số mũ nghịch biến khi nào, khảo sát và vẽ đồ thị hàm số mũ là chìa khoá để trả lời cho câu hỏi đó.
Tập xác định:
D = R
Chiều biến thiên:
- Nếu a > 1 thì hàm số đồng biến trên R
- Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R
Đồ thị:
- Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = 0
- Đồ thị hàm số luôn đi qua các điểm (0;1) và (1;a)
- Đồ thị nằm hoàn toàn trên phía trục hoành vì a ^ x > 0 x ∈ R
Bài tập hàm số mũ có lời giải chi tiết
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số mũ
Bài tập: Tìm tập xác định của hàm số
Lời giải:
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y=(0,5)x.
Lời giải:
- Tập xác định: D=R.
- Tính chất:
- Đồng biến khi a>1 (mà 0,5<1 nên hàm số nghịch biến).
- Nghịch biến khi 0<a<1.
- Liên tục trên R.
- Đồ thị đi qua điểm (1;1).
- Đồ thị nằm phía dưới trục Ox.
- Vẽ đồ thị:
[Đồ thị hàm số y = (0,5)^x]
Bài 4: Một công ty muốn đầu tư 100 triệu đồng vào hai dự án A và B. Lãi suất của dự án A là 8% một năm, lãi suất của dự án B là 10% một năm. Hỏi công ty nên đầu tư bao nhiêu tiền vào mỗi dự án để sau một năm thu được số tiền lãi là 12 triệu đồng?
Lời giải:
Gọi số tiền đầu tư vào dự án A là x (triệu đồng).
Số tiền đầu tư vào dự án B là 100−x (triệu đồng).
Số tiền lãi thu được từ dự án A sau một năm là 0,08x (triệu đồng).
Số tiền lãi thu được từ dự án B sau một năm là 0,1(100−x) (triệu đồng).
Tổng số tiền lãi thu được sau một năm là 0,08x+0,1(100−x) (triệu đồng).
Theo bài toán, ta có:
0,08x+0,1(100−x)=12
⇔0,02x=2
⇔x=100
Vậy công ty nên đầu tư 100 triệu đồng vào dự án A và 0 triệu đồng vào dự án B.
Bài tập tự luyện
- Tìm đạo hàm của hàm số y=(x2+1)x.
- Giải phương trình 2x+3x=5x.
- Chứng minh rằng hàm số y=xx đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Hàm số mũ là một công cụ hữu ích để giải quyết nhiều bài toán thực tế. Học sinh cần nắm vững kiến thức về hàm số mũ để áp dụng vào giải bài tập và các ứng dụng thực tế.
