Cách chứng minh hai mặt phẳng song song

 Trong chương trình Toán học lớp 11, hai mặt phẳng song song là một chủ đề quan trọng, được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, cơ khí,…

Bài học về hai mặt phẳng song song giúp học sinh nắm vững các tính chất, dấu hiệu nhận biết và phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song.

Hai mặt phẳng song song là gì?

Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng không có điểm chung nào.

Định lý về hai mặt phẳng song song

Hai đường thẳng cắt nhau a, b nằm trong mặt phẳng (a) cùng song song với mặt phẳng (3) thì (a) // (β)

Hệ quả: Hai đường thẳng cắt nhau a, b trong mặt phẳng (a) và trong mặt phẳng (B) a, b lần lượt song song với hai đường thẳng a’, bỏ thì mặt phẳng (a) // (β).

Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau trong hai mặt phẳng song song.

Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì trong mặt phẳng thì sẽ có những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Tính chất của hai mặt phẳng song song

  1. Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng chỉ có một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
  2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
  3. Cho điểm A không nằm trên (α).
  • Nếu qua A có một đường thẳng d song song với (α) thì qua A có một và chỉ một mặt phẳng (β) song song với (α).
  • Mọi đường thẳng trong mặt phẳng (β) đều song song với (α).
  1. Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) // (β).
  2. Nếu một mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với nhau.
  3. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

  • Chứng minh hai mặt phẳng có một cặp đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.
  • Chứng minh hai mặt phẳng cắt nhau và giao tuyến của chúng song song với đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thứ ba.
  • Chứng minh hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.
  • Sử dụng định lý Talet trong không gian.
  • Sử dụng tính chất ba mặt phẳng song song.

Dưới đây là một số ví dụ về cách áp dụng các phương pháp trên

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

Chứng minh:

  • Ta có MN // AB (do MN là đường trung bình của tam giác SAB).
  • Ta có OM // SC (do O, M, S thẳng hàng).

Vì MN // AB và OM // SC, mà AB và SC nằm trong mặt phẳng (SBC) nên theo tính chất 4, (OMN) // (SBC).

Ví dụ 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Gọi A là điểm nằm ngoài (α) và (β). Qua A, ta vẽ hai đường thẳng a và b lần lượt cắt (α) và (β) tại M và N. Chứng minh rằng nếu AM // BN thì (α) // (β).

Chứng minh:

Vì AM // BN và AM, BN nằm trong mặt phẳng (MAB), nên theo tính chất 5, d // (MAB).

Vì d là giao tuyến của (α) và (β), nên d // (α) và d // (β).

Do đó, (α) // (β).

Các dạng bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song

Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng có một cặp đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng kia.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

Chứng minh:

  • Ta có MN // AB (do MN là đường trung bình của tam giác SAB).
  • Ta có OM // SC (do O, M, S thẳng hàng).

Vì MN // AB và OM // SC, mà AB và SC nằm trong mặt phẳng (SBC) nên theo tính chất 4, (OMN) // (SBC).

Dạng 2: Chứng minh hai mặt phẳng cắt nhau và giao tuyến của chúng song song với đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thứ ba.

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Gọi A là điểm nằm ngoài (α) và (β). Qua A, ta vẽ hai đường thẳng a và b lần lượt cắt (α) và (β) tại M và N. Chứng minh rằng nếu AM // BN thì (α) // (β).

Chứng minh:

Vì AM // BN và AM, BN nằm trong mặt phẳng (MAB), nên theo tính chất 5, d // (MAB).

Vì d là giao tuyến của (α) và (β), nên d // (α) và d // (β).

Do đó, (α) // (β).

Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CC’, AA’. Chứng minh rằng (MNP) // (ABC).

Chứng minh:

  • Ta có MN // BC (do MN là đường trung bình của tam giác BCC’).
  • Ta có NP // AB (do NP là đường trung bình của tam giác AAB’).

Vì MN // BC và NP // AB, mà BC và AB nằm trong mặt phẳng (ABC) nên theo tính chất 3, (MNP) // (ABC).

Dạng 4: Sử dụng tính chất ba mặt phẳng song song.

Ví dụ: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng (A’B’C’D’) // (ACBD).

Chứng minh:

  • Ta có (A’B’C’D’) // (ABCD) (do hai mặt phẳng đối của hình hộp chữ nhật).
  • Ta có (ABCD) // (ACBD) (do hai mặt phẳng kề của hình hộp chữ nhật).

Vì (A’B’C’D’) // (ABCD) và (ABCD) // (ACBD) nên theo tính chất 2, (A’B’C’D’) // (ACBD).

Bài tập hai mặt phẳng song song có lời giải chi tiết

Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).

Lời giải:

  • Ta có MN // AB (do MN là đường trung bình của tam giác SAB).
  • Ta có OM // SC (do O, M, S thẳng hàng).

Vì MN // AB và OM // SC, mà AB và SC nằm trong mặt phẳng (SBC) nên theo tính chất 4, (OMN) // (SBC).

Bài tập 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Gọi A là điểm nằm ngoài (α) và (β). Qua A, ta vẽ hai đường thẳng a và b lần lượt cắt (α) và (β) tại M và N. Chứng minh rằng nếu AM // BN thì (α) // (β).

Lời giải:

Vì AM // BN và AM, BN nằm trong mặt phẳng (MAB), nên theo tính chất 5, d // (MAB).

Vì d là giao tuyến của (α) và (β), nên d // (α) và d // (β).

Do đó, (α) // (β).

Bài tập 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BB’, CC’, AA’. Chứng minh rằng (MNP) // (ABC).

Lời giải:

  • Ta có MN // BC (do MN là đường trung bình của tam giác BCC’).
  • Ta có NP // AB (do NP là đường trung bình của tam giác AAB’).

Vì MN // BC và NP // AB, mà BC và AB nằm trong mặt phẳng (ABC) nên theo tính chất 3, (MNP) // (ABC).

Luyện tập hai mặt phẳng song song

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD là đáy lớn. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Chứng minh rằng (MNP) // (SBC).

Câu 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến d. Lấy A, B, C không thẳng hàng thuộc (α) và D, E, F không thẳng hàng thuộc (β). Chứng minh rằng nếu AB // DE và AC // DF thì (α) // (β).

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA’, BB’, CC’. Chứng minh rằng (MNP) // (ABC).

Câu 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng (MNP) // (BCD).

Câu 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CC’, DD’, A’A. Chứng minh rằng (MNPQ) // (ABCD).

Qua bài học về hai mặt phẳng song song, học sinh có thể áp dụng kiến thức vào giải các bài tập và thực tiễn.