Hai đường thẳng vuông góc: Định nghĩa, tính chất và ứng dụng

Hai đường thẳng vuông góc là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về hai đường thẳng vuông góc, hướng dẫn cách giải các bài tập về hai đường thẳng vuông góc và chia sẻ các tài liệu tham khảo hữu ích.

Định nghĩa

  • Hai đường thẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa chúng bằng 90°.
  • Ký hiệu: d ⊥ d’.

Cách xác định hai đường thẳng vuông góc

Có hai cách để xác định hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Sử dụng góc giữa hai đường thẳng.

  • Cho hai đường thẳng d và d’. Ta lấy một điểm O thuộc đường thẳng d và qua đó kẻ đường thẳng b’ song song với d’.
  • Khi đó, góc (d, d’) = (d, b’).
  • Nếu (d, d’) = 90° thì d ⊥ d’.

Cách 2: Sử dụng vectơ chỉ phương.

  • Cho hai đường thẳng d và d’ có vectơ chỉ phương lần lượt là u và u′.
  • Khi đó, d ⊥ d’ nếu và chỉ nếu u.u′=0.

Những yếu tố xác định hai đường thẳng vuông góc với nhau

  • Góc tạo bởi hai đường thẳng: Hai đường thẳng được coi là vuông góc khi góc giữa chúng là 90 độ. Nghĩa là, khi hai đường thẳng gặp nhau, chúng tạo thành một góc vuông.
  • Tích vô hướng của vectơ chỉ phương: Tích vô hướng của vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, ký hiệu là a và b, phải bằng 0, tức là a * b = 0.
  • Đặc tính hình học: Hai đường thẳng được cho là vuông góc khi chúng cắt nhau tại một điểm và tạo ra một góc vuông. Trái lại, nếu hai đường thẳng không cắt nhau tại bất kỳ điểm nào, chúng được coi là song song.

Điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a\’ = -1. Điều kiện này được gọi là điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng.

Giải pháp:

  1. Xác định công thức điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng:

Để xác định nếu hai đường thẳng là vuông góc với nhau, ta sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Công thức: \(a x a\’ = |a| x |a\’| x cos(theta)\), trong đó a và a\’ là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng, |a| và |a\’| là độ dài của hai vectơ đó, và theta là góc giữa hai vectơ đó.

  1. Áp dụng công thức tích vô hướng để tìm giá trị của a x a\’:

Gọi a = (x1, y1, z1) và a\’ = (x2, y2, z2) là hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng.

Từ công thức tích vô hướng, ta có:

\(a x a\’ = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2\)

Để hai đường thẳng được cho là vuông góc với nhau, ta cần a x a\’ = -1.

Vì vậy, ta có phương trình:

\(x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2 = -1\)

Đây là phương trình cần giải để tìm giá trị của a x a\’.

  1. Giải phương trình để tìm giá trị của a x a\’:

Để giải phương trình trên, ta cần biết giá trị của vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và a\’.

Tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc có một và chỉ một tính chất

Qua một điểm cho trước, có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Chứng minh:

Giả sử:

  • Có hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau tại điểm O.
  • Có một đường thẳng c vuông góc với đường thẳng a tại điểm O.

Cần chứng minh

Đường thẳng c cũng vuông góc với đường thẳng b.

Chứng minh

Vì a ⊥ b và c ⊥ a nên c ⊥ b.

Hệ quả

  • Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì không có điểm chung.
  • Hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ

  • Hai đường thẳng chéo nhau a và b trong hình hộp chữ nhật ABCD vuông góc với nhau.
  • Hai đường thẳng d và d’ trong không gian vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

Bài tập hai đường thẳng vuông góc có lời giải chi tiết

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hai đường thẳng vuông góc. Hãy ôn tập và luyện tập các bài tập về hai đường thẳng vuông góc để củng cố kiến thức. Bạn cũng có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để nâng cao hiểu biết về chủ đề này. Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết!