Hai đường thẳng song song: Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết

Hai đường thẳng song song là một khái niệm này đóng vai trò thiết yếu trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tế, đồng thời cũng là nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn về hình học. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những hiểu biết cơ bản về hai đường thẳng song song, bao gồm định nghĩa, tính chất, định lý và ứng dụng. 

Hai đường thẳng song song là gì?

Hai đường thẳng song song trong một mặt phẳng chính là hai đường thẳng không có điểm chung.

Kí hiệu a//b.

Trong hình học, hai đường thẳng phân biệt thì hoặc cắt nhau hoặc song song.

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song

  • Có hai vectơ chỉ phương cùng phương:

Hai đường thẳng d1 và d2 song song khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phương u và v của chúng cùng phương.

  • Cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành cặp góc so le trong bằng nhau:

Nếu hai đường thẳng d1 và d2 cắt đường thẳng thứ ba d3 tạo thành cặp góc so le trong A1B3 và B2A4 bằng nhau thì d1 và d2 song song.

  • Cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành cặp góc đồng vị bằng nhau:

Nếu hai đường thẳng d1 và d2 cắt đường thẳng thứ ba d3 tạo thành cặp góc đồng vị A1B3 và A2B4 bằng nhau thì d1 và d2 song song.

  • Cắt một đường thẳng thứ ba tạo thành cặp góc trong cùng phía bù nhau:

Nếu hai đường thẳng d1 và d2 cắt đường thẳng thứ ba d3 tạo thành cặp góc trong cùng phía A1B2 và B2A1 bù nhau thì d1 và d2 song song.

Tính chất của hai đường thẳng song song

  • Hai đường thẳng song song thì mọi đường thẳng cắt hai đường thẳng đó đều tạo thành các cặp góc so le trong bằng nhau, các cặp góc đồng vị bằng nhau, các cặp góc trong cùng phía bù nhau.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là một giá trị không đổi.

Định lý Talet

Định lý Talet là một định lý quan trọng trong hình học, liên quan đến tỷ số giữa các đoạn thẳng trên hai đường thẳng song song.

Nếu hai đường thẳng a và b song song và cắt đường thẳng c thì các đoạn thẳng bị cắt trên đường thẳng c tỉ lệ với nhau.

Bài tập có lời giải về hai đường thẳng song song 

Bài 1: Cho hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 5 + t, y = 6 + 2t, z = 7 + 3t.

  • Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
  • Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 (nếu có).

Lời giải:

Chứng minh hai đường thẳng song song

Hai đường thẳng d1 và d2 song song khi và chỉ khi hai vectơ chỉ phương u và v của chúng cùng phương.

Ta có: u = (2, 3, 4) và v = (1, 2, 3).

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.

Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

Vì hai đường thẳng d1 và d2 song song nên không có điểm chung.

Bài 2: Cho hai đường thẳng d1: x = 1 + 2t, y = 3 – t, z = 4 + t và d2: x = 5 + 3t, y = 2 + 2t, z = 1 – t.

  • Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2.
  • Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2.

Giải

Hai đường thẳng d1 và d2 có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau.

Để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta cần kiểm tra xem hai vectơ chỉ phương u và v của chúng có cùng phương hay không.

Ta có: u = (2, -1, 1) và v = (3, 2, -1).

Tính tích vô hướng của hai vectơ:

u.v = (2, -1, 1).(3, 2, -1) = 1.

Vì u.v ≠ 0 nên hai vectơ u và v không cùng phương.

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau.

Luyện tập về hai đường thẳng song song

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hai đường thẳng song song. Kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập toán liên quan một cách hiệu quả hơn.