Hai đường thẳng chéo nhau là gì? Định nghĩa và tính chất của hai đường thẳng chéo nhau

Hai đường thẳng chéo nhau là một chủ đề quan trọng trong chương trình Hình học không gian lớp 11. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những hiểu biết cơ bản về hai đường thẳng chéo nhau, bao gồm định nghĩa, tính chất, định lý và ứng dụng. Bên cạnh đó, bài viết cũng sẽ hướng dẫn bạn cách giải một số bài tập cơ bản về chủ đề này.

Hai đường thẳng chéo nhau là gì?

Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không song song nhưng không trùng nhau, mà chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất. Điểm cắt của hai đường thẳng chéo nhau được gọi là điểm giao của hai đường. Để xác định hai đường thẳng có chéo nhau hay không, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như sử dụng phương trình đường thẳng, vẽ đồ thị hoặc xác định sự giao nhau của các hệ số.

Đặc điểm của hai đường thẳng chéo nhau

  • Hai đường thẳng chéo nhau không có điểm chung.
  • Hai đường thẳng chéo nhau nằm trên hai mặt phẳng phân biệt.
  • Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai đường thẳng đó.

Cách xác định vị trí hai đường thẳng chéo nhau

Bước 1: Xem xét liệu hai đường thẳng này có gặp nhau tại một điểm nào đó hay không. Điều này có thể được thực hiện bằng cách tìm kiếm điểm chung giữa chúng, thông qua việc giải hệ phương trình đại diện cho hai đường thẳng, hoặc bằng cách áp dụng một phương pháp hình học khác. Nếu chúng gặp nhau tại một điểm, chúng chéo nhau. Nếu không, chúng hoặc là song song hoặc cùng nằm trên một mặt phẳng.

Bước 2: Trong trường hợp có điểm giao nhau, cần xác định vị trí của điểm này liên quan đến cả hai đường thẳng. Điểm giao có thể nằm ở giữa hai điểm chung của đường thẳng, hoặc ở một vị trí nào đó dọc theo đoạn thẳng nối hai điểm giao này.

Bước 3: Nếu hai đường thẳng song song, việc xác định vị trí tương đối của chúng trong không gian so với một đường thẳng thứ ba là cần thiết. Điều này đòi hỏi việc kiểm tra liệu chúng có giao nhau với đường thẳng thứ ba hay không. Nếu không có giao điểm, có thể kết luận rằng hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba. Nếu có giao điểm, vị trí của điểm giao sẽ được xác định bằng cách giải hệ phương trình hoặc áp dụng phương pháp hình học.

Quy tắc để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Nguyên tắc để đo khoảng cách giữa hai đường thẳng không gặp nhau sử dụng công thức được biết đến là “công thức khoảng cách từ điểm này đến đường thẳng kia”. Điều này áp dụng khi ta biết được vectơ chỉ phương của một đường thẳng cùng với tọa độ của một điểm trên đường thẳng còn lại.

Ví dụ, giả sử có hai đường thẳng chéo nhau là AB và CD, trong đó A và B là các điểm trên đường thẳng AB, và C là điểm trên đường thẳng CD. Ta muốn tìm khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

Bước 1: Tính vectơ chỉ phương của AB, gọi là vectơ AB. Điều này có thể thực hiện bằng cách lấy hiệu của tọa độ điểm B và A: AB = B – A.

Bước 2: Áp dụng công thức để tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB, được biểu thị như sau:

Khoảng cách từ C đến AB = |(C – A) x AB| / |AB|.

Ở đây, “x” biểu thị phép nhân vectơ (tích có hướng), và “|” đại diện cho giá trị tuyệt đối.

Bước 3: Tiến hành tính toán theo công thức. Đầu tiên, xác định vectơ (C – A). Tiếp theo, tính vectơ AB và sau đó tính tích có hướng của (C – A) với AB. Cuối cùng, lấy giá trị tuyệt đối của tích này và chia cho độ dài của vectơ AB. Kết quả thu được chính là khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Chú ý: Trong quá trình tính toán, cần phải chú ý đến đơn vị của các tọa độ và kết quả cuối cùng phải được biểu thị bằng đơn vị tương ứng.

Định lý

Định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đôi một song song.

Ví dụ:

  • Hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 5 + t, y = 6 + 2t, z = 7 + 3t là hai đường thẳng chéo nhau.
  • Hai đường thẳng d1: x = 2t, y = 3t, z = 4t và d2: x = 2 + t, y = 3 + 2t, z = 4 + 3t là hai đường thẳng song song.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về hai đường thẳng chéo nhau. Kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài tập toán liên quan một cách hiệu quả hơn.