Giới hạn dãy số là gì? Định nghĩa, tính chất và dấu hiệu

Giới hạn dãy số là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11. Giới hạn của dãy số giúp ta mô tả hành vi của dãy số khi số hạng của dãy số tiến đến vô cùng.

Định nghĩa giới hạn dãy số

Giới hạn của dãy số là giá trị mà dãy số tiến dần đến khi số hạng của dãy số tăng lên vô hạn.

Ký hiệu

  • \(lim_(n->∞) a_n = L\): Dãy số \((a_n)\) có giới hạn là L khi n tiến đến dương vô cùng.
  • \(lim_(n->-∞) a_n = L\): Dãy số \((a_n)\) có giới hạn là L khi n tiến đến âm vô cùng.

Tính chất giới hạn dãy số

  • Tính chất cộng: \(lim_(n->∞) (a_n + b_n) = lim_(n->∞) a_n + lim_(n->∞) b_n\)
  • Tính chất nhân: \(lim_(n->∞) (a_n * b_n) = lim_(n->∞) a_n * lim_(n->∞) b_n\)
  • Tính chất chia: \(lim_(n->∞) (a_n / b_n) = lim_(n->∞) a_n / lim_(n->∞) b_n (b_n ≠ 0)\)
  • Tính chất so sánh:
    • Nếu \(lim_(n->∞) a_n > lim_(n->∞) b_n\) thì \(lim_(n->∞) (a_n – b_n) > 0\)
    • Nếu \(lim_(n->∞) a_n < lim_(n->∞) b_n\) thì \(lim_(n->∞) (a_n – b_n) < 0\)

Một số giới hạn đặc biệt

  • \(lim_(n->∞) n^k = ∞\) với k là số nguyên dương
  • \(lim_(n->∞) 1/n = 0\)

Ví dụ

  • Dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.
  • Dãy số (1, -1, 1, -1, …) có giới hạn không tồn tại.

Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa:

Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng nếu với mọi số dương ε cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(|u_n| < ε\) với mọi n ≥ N

Ký hiệu:

  • \(lim_(n->∞) u_n = 0\)

Ví dụ:

  • Dãy số \((1/n)\) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.
  • Dãy số \((1/n^2)\) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.

Tính chất:

  • Tính chất cộng: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = 0 \)và \(lim_(n->∞) v_n = 0\) thì \(lim_(n->∞) (u_n + v_n) = 0\)
  • Tính chất nhân: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = 0\) và \(lim_(n->∞) k ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (k * u_n) = 0\)
  • Tính chất chia: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = 0\) và \(lim_(n->∞) v_n ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (u_n / v_n) = 0\)

Dấu hiệu:

Dấu hiệu Cauchy: Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng nếu và chỉ nếu với mọi số dương ε cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(|u_n – u_m| < ε\) với mọi n, m ≥ N

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa:

Dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn L khi n tiến đến dương vô cùng nếu với mọi số dương ε cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(|u_n – L| < ε\) với mọi n ≥ N

Ký hiệu:

  • \(lim_(n->∞) u_n = L\)

Ví dụ:

  • Dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.
  • Dãy số (1, 2, 3, 4, …) có giới hạn không tồn tại.

Tính chất:

  • Tính chất cộng: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = L\) và \(lim_(n->∞) v_n = M\) thì \(lim_(n->∞) (u_n + v_n) = L + M\)
  • Tính chất nhân: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = L\) và \(lim_(n->∞) k ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (k * u_n) = k * L\)
  • Tính chất chia: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = L\) và \(lim_(n->∞) v_n = M ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (u_n / v_n) = L / M\)

Dấu hiệu:

Dấu hiệu Cauchy: Dãy số \((u_n)\) có giới hạn hữu hạn L khi n tiến đến dương vô cùng nếu và chỉ nếu với mọi số dương ε cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(|u_n – u_m| < ε\) với mọi n, m ≥ N

Dãy số có giới hạn vô cực

Định nghĩa:

Dãy số \((u_n)\) có giới hạn vô cực khi n tiến đến dương vô cùng nếu với mọi số dương M, tồn tại số hạng N sao cho:

\(u_n > M\) với mọi n ≥ N

Ký hiệu:

  • \(lim_(n->∞) u_n = ∞\)

Ví dụ:

  • Dãy số (1, 2, 3, 4, …) có giới hạn là ∞ khi n tiến đến dương vô cùng.
  • Dãy số (1/n) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.

Tính chất:

  • Tính chất cộng: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = ∞ \) và \(lim_(n->∞) v_n = ∞\) thì \(lim_(n->∞) (u_n + v_n) = ∞\)
  • Tính chất nhân: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = ∞ \) và \(lim_(n->∞) k ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (k * u_n) = ∞\)
  • Tính chất chia: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = ∞ \) và \(lim_(n->∞) v_n ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (u_n / v_n) = ∞\)

Dấu hiệu:

Dấu hiệu so sánh:

  • Nếu dãy số \((v_n)\) có giới hạn là ∞ và \(u_n ≥ v_n\) với mọi n ≥ N thì dãy số \((u_n)\) cũng có giới hạn là ∞.
  • Nếu dãy số \((v_n)\) có giới hạn là ∞ và \(u_n ≤ v_n\) với mọi n ≥ N thì dãy số \((u_n)\) cũng có giới hạn là ∞

Dãy số có giới hạn âm vô cực

Định nghĩa:

Dãy số \((u_n)\) có giới hạn là âm vô cực khi n tiến đến dương vô cùng nếu với mọi số thực âm A cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(u_n < A\) với mọi n ≥ N

Ký hiệu:

  • \(lim_(n->∞) u_n = -∞\)

Ví dụ:

  • Dãy số (-1, -2, -3, -4, …) có giới hạn là âm vô cực khi n tiến đến dương vô cùng.
  • Dãy số \((1/n, 1/n^2, 1/n^3, …)\) có giới hạn là 0 khi n tiến đến dương vô cùng.

Tính chất:

  • Tính chất cộng: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = -∞\) và \(lim_(n->∞) v_n = -∞\) thì \(lim_(n->∞) (u_n + v_n) = -∞\)
  • Tính chất nhân: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = -∞\) và \(lim_(n->∞) k ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (k * u_n) = -∞\)
  • Tính chất chia: Nếu \(lim_(n->∞) u_n = -∞\) và \(lim_(n->∞) v_n ≠ 0\) thì \(lim_(n->∞) (u_n / v_n) = -∞\)

Dấu hiệu:

Dấu hiệu Cauchy: Dãy số \((u_n)\) có giới hạn âm vô cực khi n tiến đến dương vô cùng nếu và chỉ nếu với mọi số thực âm A cho trước, tồn tại số hạng N sao cho:

\(u_n – u_m < A\) với mọi n, m ≥ N

Các dạng toán về giới hạn dãy số

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

  • Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …)

Dạng 2: Chứng minh dãy số có giới hạn

  • Ví dụ: Chứng minh dãy số (1 – 1/n, 1 – 2/n, 1 – 3/n, …) có giới hạn là 1

Dạng 3: So sánh hai dãy số

  • Ví dụ: So sánh hai dãy số (1/n, 1/n^2)

Dạng 4: Ứng dụng giới hạn dãy số

  • Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn

Dưới đây là một số ví dụ cụ thể cho từng dạng toán

Dạng 1:

  • Ví dụ 1: Tìm giới hạn của dãy số (1, 2, 3, 4, …)

Lời giải: Dãy số (1, 2, 3, 4, …) là một dãy số tăng không bị chặn. Do đó, dãy số này không có giới hạn.

  • Ví dụ 2: Tìm giới hạn của dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …)

Lời giải: Dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …) là một dãy số giảm và bị chặn bởi 0 và 1. Do đó, dãy số này có giới hạn là 0.

Dạng 2:

  • Ví dụ: Chứng minh dãy số (1 – 1/n, 1 – 2/n, 1 – 3/n, …) có giới hạn là 1

Lời giải:

  • Bước 1: Cho ε là một số dương tùy ý.
  • Bước 2: Chọn số N sao cho \(N > 1/ε\)
  • Bước 3: Chứng minh rằng với mọi n ≥ N, ta có \(|(1 – n/n) – 1| < ε\)

Dạng 3:

  • Ví dụ: So sánh hai dãy số \((1/n, 1/n^2)\)

Lời giải:

  • Ta có: \(lim_(n->∞) 1/n = 0\) và \(lim_(n->∞) 1/n^2 = 0\).
  • Do đó, hai dãy số \((1/n, 1/n^2)\) đều có giới hạn là 0.
  • Tuy nhiên, dãy số \((1/n)\) có tốc độ giảm chậm hơn dãy số (1/n^2). Do đó, dãy số (1/n) sẽ lớn hơn dãy số \((1/n^2)\) khi n đủ lớn.

Dạng 4:

  • Ví dụ: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

Lời giải:

  • Cấp số nhân này có u1 = 1 và q = 1/2.
  • Do |q| < 1, nên cấp số nhân này có giới hạn.
  • Tổng của cấp số nhân này là S = u1 / (1 – q) = 1 / (1 – 1/2) = 2.

Bài tập giới hạn dãy số có lời giải chi tiết

Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số \((u_n)\) với \(u_n = (n + 1)/(n^2 + 1)\)

Lời giải:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa giới hạn

  • Cho ε là một số dương tùy ý.
  • Chọn N sao cho N > ε.
  • Khi n ≥ N, ta có:

\(0 ≤ u_n – 1 = (n + 1)/(n^2 + 1) – 1 = (n – n^2)/(n^2 + 1) = (n(1 – n))/(n^2 + 1) ≤ n(1 – n)/(N^2 + 1)\)

  • Vì \(n(1 – n) ≤ n^2\) và \(N^2 + 1 > N^2\), nên ta có:

\(0 ≤ u_n – 1 ≤ n^2/(N^2 + 1) < 1/N\)

  • Do đó, nếu \(ε < 1/N\), ta có:

\(|u_n – 1| < ε\)

  • Vậy, \(lim_(n->∞) u_n = 1\)

Cách 2: Sử dụng tính chất của giới hạn

  • Ta có: \(lim_(n->∞) 1/n = 0\)
  • Do đó, \(lim_(n->∞) n/(n^2 + 1) = lim_(n->∞) n/n^2 * lim_(n->∞) (1 + 1/n^2) = 0 * 1 = 0\)
  • Vậy, \(lim_(n->∞) u_n = lim_(n->∞) (1 + n/(n^2 + 1)) = 1 + lim_(n->∞) n/(n^2 + 1) = 1 + 0 = 1\)

Bài 2: Chứng minh dãy số \((u_n)\) với \(u_n\) = \((-1)^n/n\) có giới hạn là 0.

Lời giải:

  • Với mọi n ≥ 1, ta có:

\(0 ≤ |u_n| = |(-1)^n/n| = 1/n\)

  • Do \(lim_(n->∞) 1/n = 0\), nên theo tính chất so sánh giới hạn, ta có:

\(lim_(n->∞) |u_n| = 0\)

  • Vậy, \(lim_(n->∞) u_n = 0\).

Bài 3: So sánh hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) với \(u_n = 1/n\) và \(v_n = 1/n^2\).

Lời giải:

  • Ta có: \(lim_(n->∞) u_n = 0\) và \(lim_(n->∞) v_n = 0\)
  • Do đó, cả hai dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) đều có giới hạn là 0.
  • Tuy nhiên, dãy số \((u_n)\) có tốc độ giảm chậm hơn dãy số \((v_n)\). Do đó, với n đủ lớn, ta có:

\(u_n > v_n\)

Kết luận:

  • Dãy số \((u_n)\) và \((v_n)\) đều có giới hạn là 0.
  • Dãy số \((u_n)\) có tốc độ giảm chậm hơn dãy số \((v_n)\).

Bài tập tự luyện

Câu 1: Tìm giới hạn của dãy số (1, 1/2, 1/4, 1/8, …)

Câu 2: Tìm giới hạn của dãy số (1, 2, 3, 4, …)

Câu 3: Tìm giới hạn của dãy số (1, -1, 1, -1, …)

Câu 4: Chứng minh dãy số (1 – 1/n, 1 – 2/n, 1 – 3/n, …) có giới hạn là 1

Câu 5: Chứng minh dãy số (n/(n + 1), n/(n + 2), n/(n + 3), …) có giới hạn là 1

Câu 6: Chứng minh dãy số (√n, √(n + 1), √(n + 2), …) có giới hạn không tồn tại

Câu 7: So sánh hai dãy số (1/n, 1/n^2)

Câu 8: So sánh hai dãy số (n, n^2)

Câu 9: So sánh hai dãy số (n^n, e^n)

Câu 10: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …

Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^2, y = 0, x = 0, x = 1

Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x^2, y = 0, x = 0, x = 1 quanh trục Ox

Giới hạn của dãy số là một chủ đề quan trọng và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc nắm vững khái niệm này giúp học sinh giải quyết được nhiều bài toán khó trong chương trình Toán lớp 11 và các môn học khác.