Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Định nghĩa, tính chất và bài tập

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11 và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này sẽ giới thiệu các khái niệm cơ bản về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hướng dẫn cách giải các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và chia sẻ các tài liệu tham khảo hữu ích.

Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ấy.

Ký hiệu

d ⊥ (α)

Tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

  • Hai đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
  • Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
  • Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
  • Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì d vuông góc với mọi mặt phẳng song song với (α).

Cách để xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Cách 1:

Sử dụng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Ta lấy một điểm O thuộc d và qua đó kẻ đường thẳng b’ song song với d.

Khi đó, góc (d, (α)) = (d, b’).

Nếu (d, (α)) = 90° thì d ⊥ (α).

Cách 2:

Sử dụng vectơ chỉ phương:

Cho đường thẳng d có vectơ chỉ phương u và mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến n.

Khi đó, d ⊥ (α) nếu và chỉ nếu u.n=0.

Định lý

Định lý 1:

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Định lý 2:

Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và song song với d.

Hệ quả

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Ví dụ

  • Hai đường thẳng chéo nhau a và b trong hình hộp chữ nhật ABCD vuông góc với nhau.
  • Hai đường thẳng d và d’ trong không gian vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng bằng 0.

Mối liên hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song của mặt phẳng và đường thẳng

Tính chất số 1

Cho 2 đường thẳng song song. Nếu có một mặt phẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng thì mặt phẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

Và ngược lại, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng nào đó thì 2 đường thẳng này song song với nhau.

Tính chất số 2

Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu có một đường thẳng vuông góc với một trong 2 mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Và ngược lại, nếu có 2 mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng bất kì thì 2 mặt phẳng đó song song với nhau.

Tính chất số 3

Nếu có mặt phẳng (a) song song với đường thẳng a cho trước. Nếu có 1 đường thẳng b nào đó vuông góc với mặt phẳng (a) thì đường thẳng b cũng vuông góc với a.

Và ngược lại, nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng (đường thẳng không thuộc mặt phẳng) và cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng sẽ song song với nhau.

Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng

Trong trường hợp có một đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 độ.

Trong trường hợp nếu có một đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước thì góc được xác định giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

Chi tiết các em học sinh có thể tham khảo bài viết: Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Lưu ý: Nếu ọ là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (a) thì ta luôn có miền xác định của góc ọ là: 0° < φ < 90°.

Bài tập có lời giải cho bài góc giữa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α, khi đó tanα nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Lời giải:

  • Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD).
  • Ta có: SH ⊥ (ABCD) và SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ SH.
  • Tam giác SAH vuông tại H có: AH = √(SA² – SH²) = √(a² – a²) = 0.
  • Tam giác SAC vuông tại A có: AC = √(SA² + AC²) = √(a² + a²) = a√2.
  • Do đó, tanα = AH/AC = 0/a√2 = 0.

Vậy tanα = 0.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại C. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và SB. Khẳng định nào dưới đây sai?

  1. CH ⊥ AK.
  2. CH ⊥ SB.
  3. CH ⊥ SA.
  4. AK ⊥ SB.

Lời giải:

  • Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC.
  • Do H là trung điểm của AB ⇒ CH ⊥ AB.
  • Tam giác ABC cân tại C ⇒ CH ⊥ BC.
  • Do đó, CH ⊥ (ABC).

Mặt khác:

  • AK ⊂ (SAB) và SB ⊂ (SAB).
  • CH ⊥ (ABC) ⊂ (SAB).
  • Do đó, AK ⊥ CH.

Vậy khẳng định D sai.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD).

Lời giải:

  • Gọi I là trung điểm của AD.
  • Ta có: AH ⊥ (ABCD) ⇒ AH ⊥ BI.
  • Do I là trung điểm của AD ⇒ BI ⊥ AD.
  • Tam giác ABI vuông tại B có: BI = AB√3/2 = a√3/2.
  • Tam giác BID vuông tại I có: ID = √(BD² – BI²) = √(a² – (a√3/2)²) = a/2.
  • Do đó, tanα = BI/ID = a√3/2 : a/2 = √3.

Vậy α = arctan√3.

Luyện tập

Câu 1: Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 7). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB.

Câu 2: Cho hai đường thẳng d và d’ trong không gian. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d’ nhỏ nhất.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là α. Tính tanα.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều có đường cao AH vuông góc với mp( ABCD). Gọi α là góc giữa BD và mp(SAD). Tính tanα.

Câu 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 2a. Gọi M là trung điểm của BC. Tính góc giữa hai đường thẳng AM và A’C’.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Hãy ôn tập và luyện tập các bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để củng cố kiến thức. Bạn cũng có thể tham khảo thêm các tài liệu khác để nâng cao hiểu biết về chủ đề này. Cảm ơn bạn đã theo dõi bài viết!