Bạn có từng tự hỏi đường thẳng là gì? Nó có những tính chất gì? Làm thế nào để áp dụng kiến thức về đường thẳng vào thực tế? Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn câu trả lời cho tất cả những câu hỏi đó.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
- Hai đường thẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau.
- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu hai đường thẳng có một điểm chung thì chúng cắt nhau.
- Hai đường thẳng song song: Nếu hai đường thẳng không có điểm chung nào và không cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng song song.
- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu hai đường thẳng có tất cả các điểm chung thì chúng trùng nhau.
Định lý Talet
Nếu ba đường thẳng a, b, c cắt nhau tại ba điểm A, B, C và không có điểm nào trong ba điểm A, B, C thẳng hàng thì:
\(AB/BC = AC/CA = MA/MB = NA/NC\)Định lý Menelaus
Nếu ba đường thẳng a, b, c cắt nhau tại ba điểm A, B, C và không có điểm nào trong ba điểm A, B, C thẳng hàng thì:
\(AM/MB \cdot BN/NC \cdot CP/PA = 1\)Tính chất của hai đường thẳng song song
- Hai đường thẳng song song thì mọi đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng đó sẽ cắt đường thẳng còn lại.
- Hai đường thẳng song song thì góc tạo bởi hai đường thẳng đó với một đường thẳng cắt cả hai đường thẳng bằng nhau.
- Hai đường thẳng song song thì góc đồng vị bằng nhau.
Tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
- Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì nó vuông góc với mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó.
Công thức đường thẳng lớp 11
Phương trình tổng quát của đường thẳng:
ax + by + c = 0
Phương trình tham số của đường thẳng:
x = x0 + at
y = y0 + bt
Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x – x0/a = y – y0/b = (z – z0)/c
Phương trình hai điểm của đường thẳng:
y – y1 = (y2 – y1)/(x2 – x1) * (x – x1)
Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2)
Góc giữa hai đường thẳng:
cosα = (a1a2 + b1b2)/(√(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2))
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng:
x = ((b1c2 – b2c1)/(a1b2 – a2b1))
y = ((a2c1 – a1c2)/(a1b2 – a2b1))
Điều kiện song song, vuông góc của hai đường thẳng:
- Hai đường thẳng song song:
a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2
- Hai đường thẳng vuông góc:
a1a2 + b1b2 = 0
Góc giữa hai đường thẳng
Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng là góc được tạo bởi hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Công thức tính
Giả sử hai đường thẳng d1 và d2 có vectơ chỉ phương lần lượt là a và b. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 được tính theo công thức:
\(cosα = (a1a2 + b1b2)/(√(a1^2 + b1^2) * √(a2^2 + b2^2))\)
Ví dụ:
Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: 3x + y – 4 = 0.
- Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -2).
- Vectơ chỉ phương của d2 là b = (3, 1).
\(*cosα = (1*3 + (-2)1)/(√(1^2 + (-2)^2) * √(3^2 + 1^2)) = 1/√10\)
α ≈ 63,43°
Bài tập có lời giải chi tiết
Bài 1
Cho hai đường thẳng d1: x – 2y + 1 = 0 và d2: 3x + y – 4 = 0.
a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
b) Tìm khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2.
Lời giải:
- Vectơ chỉ phương của d1 là a = (1, -2).
- Vectơ chỉ phương của d2 là b = (3, 1).
\(*cosα = (1*3 + (-2)1)/(√(1^2 + (-2)^2) * √(3^2 + 1^2)) = 1/√10\)
α ≈ 63,43°
b) Tìm khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2.
Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng d2 là:
3x + y – 4 = 0
Khoảng cách từ điểm M(2; 3) đến đường thẳng d2 được tính theo công thức:
\(d = |ax0 + by0 + c|/√(a^2 + b^2)\)
\(d = |32 + 13 – 4|/√(3^2 + 1^2) = √2/√10 = √2/10\)
Bài 2: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(3; 4) và C(5; 0).
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
b) Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC.
Lời giải:
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là AB = (2, 2).
Phương trình tham số của đường thẳng AB là:
x = 1 + 2t
y = 2 + 2t
Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là:
x – 1 = y – 2 = 2t
b) Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC.
Lời giải:
Đường thẳng BC có vectơ chỉ phương là BC = (2, -4).
Phương trình tổng quát của đường thẳng BC là:
x – 3 = (y – 4)/-2 = (z – 0)/2
Để điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC thì:
AD . BC = 0
((x – 1) – 2(y – 2)) * 2 + (y – 2) * (-4) = 0*
x – 4y + 10 = 0
Giải hệ phương trình:
x – 3 = (y – 4)/-2
x – 4y + 10 = 0
Ta được: x = 7 và y = 1.
Tọa độ điểm D là (7; 1).
Bài tập luyện tập
- Cho hai đường thẳng d1: x + 2y – 3 = 0 và d2: 3x – y + 5 = 0.
- a) Tìm góc giữa hai đường thẳng d1 và d2.
- b) Tìm khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng d2.
- Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(4; 5) và C(7; 2).
- a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
- b) Tìm tọa độ điểm D trên đường thẳng BC sao cho AD vuông góc với BC.
- Cho đường tròn (C): (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 4.
- a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C).
- b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A(1; 4).
- Cho parabol (P): y = x^2 – 4x + 3.
- a) Tìm tọa độ đỉnh và trục đối xứng của parabol (P).
- b) Vẽ đồ thị của parabol (P).
- Cho elip (E): x^2/4 + y^2/9 = 1.
- a) Tìm tâm, trục lớn, trục nhỏ và các tiêu điểm của elip (E).
- b) Vẽ đồ thị của elip (E).
Bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản về đường thẳng lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, phương trình và ứng dụng. Hy vọng những thông tin này sẽ giúp bạn học tốt môn toán học và áp dụng kiến thức vào thực tế.
