Diện tích hình elip là một khái niệm toán học quan trọng được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ cách tính diện tích hình elip giúp chúng ta giải quyết các bài toán liên quan đến hình học, đo lường và thiết kế.
Lý thuyết diện tích hình elip
Hình elip là một đường cong phẳng được xác định bởi tập hợp tất cả các điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 và F2 (gọi là tiêu điểm) luôn bằng một giá trị 2a không đổi.
Độ dài trục lớn 2A của elip là khoảng cách giữa hai đỉnh A và B, độ dài trục nhỏ 2B là khoảng cách giữa hai đỉnh C và D.
Công thức tính diện tích hình elip
Diện tích hình elip được tính bằng công thức:
$$S = πab$$
trong đó:
- S là diện tích hình elip
- π là số pi (π ≈ 3,14)
- a là độ dài bán trục lớn
- b là độ dài bán trục nhỏ
Công thức diện tích hình elip có thể được suy ra từ nhiều cách khác nhau:
- Dựa vào công thức tính diện tích hình tròn: Diện tích hình elip có thể được xem là diện tích hình tròn có bán kính bằng trung bình cộng của hai bán trục a và b.
- Dựa vào phép biến đổi hình học: Diện tích hình elip có thể được suy ra từ diện tích hình chữ nhật có độ dài hai cạnh bằng 2a và 2b.
- Dựa vào tích phân: Diện tích hình elip có thể được tính bằng cách sử dụng tích phân kép.
Tính chất của hình elip
- Elip có tính đối xứng qua trục lớn và trục nhỏ.
- Elip có tâm O là trung điểm của AB.
- Elip có hai tiêu điểm F1 và F2 nằm trên trục lớn, cách O một khoảng c, với c² = a² – b².
- Tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và độ dài trục lớn (b/a) được gọi là tâm sai của elip.
Bài tập diện tích hình elip
Bài 1:
Cho một hình elip có độ dài trục lớn là 10cm và độ dài trục nhỏ là 6cm. Tính diện tích hình elip.
Giải:
Diện tích hình elip là:
\(S = πab = π * 5 * 3 = 15π cm²\)
Bài 2:
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn là 12m và độ dài trục nhỏ là 8m. Người ta muốn trồng cỏ trên mảnh vườn này. Hỏi cần mua bao nhiêu mét vuông cỏ để phủ kín toàn bộ mảnh vườn?
Giải:
Diện tích mảnh vườn hình elip là:
\(S = πab = π * 6 * 4 = 24π m²\)
Vậy cần mua 24π m² cỏ để phủ kín toàn bộ mảnh vườn.
Bài 3:
Một quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời là một hình elip với độ dài trục lớn là 300 triệu km và độ dài trục nhỏ là 200 triệu km. Tính diện tích quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời.
Giải:
Diện tích quỹ đạo của Trái Đất quanh Mặt Trời là:
\(S = πab = π * 150 * 100 = 15000π km²\)
Bài 4:
Cho một hình elip có diện tích là 25π cm² và độ dài trục lớn là 10cm. Tính độ dài trục nhỏ của hình elip.
Giải:
Gọi độ dài trục nhỏ của hình elip là b.
Ta có:
\(S = πab = 25π\)
=> \(b = \frac{S}{\pi a} = \frac{25\pi}{\pi \times 10} = 2.5 \, \text{cm}\)
Vậy độ dài trục nhỏ của hình elip là 2.5 cm.
Bài 5:
Cho một hình elip có chu vi là 30cm. Biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và độ dài trục lớn là 1/2. Tính diện tích hình elip.
Giải:
Gọi độ dài trục nhỏ của hình elip là b.
Ta có:
\(\frac{b}{a} = \frac{1}{2}\)
=> a = 2b
Chu vi hình elip là:
\(P = \frac{4\pi(a + b)\sqrt{3a^2 + 3b^2}}{14} = 30\)
=> \(4\pi(2b + b)\sqrt{3(2b)^2 + 3b^2}/14 = 30\)
=> b = 2.5 cm
=> a = 5 cm
Diện tích hình elip là:
\(S = πab = π * 2.5 * 5 = 12.5π cm²\)
Vậy diện tích hình elip là 12.5π cm².
Bài viết này đã hướng dẫn bạn cách tính diện tích hình elip trong các trường hợp khác nhau. Hy vọng những thông tin này hữu ích cho bạn.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
