Hình elip là một đường cong kín, dẹt, có hai trục đối xứng vuông góc với nhau. Diện tích hình elip là thước đo độ rộng của hình elip. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức tính diện tích hình elip, cũng như một số lưu ý khi áp dụng công thức.
Khái niệm hình elip
Elip là quỹ tích các điểm M trong mặt phẳng sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F₁ và F₂ (gọi là tiêu điểm) luôn bằng một hằng số 2a (a > 0).
Các yếu tố
Trục lớn: AB = 2a
Trục nhỏ: CD = 2b
Tiêu cự: F₁F₂ = 2c
Tâm sai: e = \(\frac{c}{a}\)
Bán kính lớn: OA = OB = \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
Bán kính nhỏ:OC = OD = \(\sqrt{a^2 – b^2}\)
Bán kính cong: \(\rho = \frac{\sqrt{a^2y^2 + b^2x^2}}{a^2 + b^2}\)
Công thức tính diện tích hình elip
Diện tích hình elip được tính bằng công thức:
\(S = πab\)
trong đó:
S: Diện tích hình elip (đơn vị: cm²)
a: Nửa trục lớn (đơn vị: cm)
b: Nửa trục nhỏ (đơn vị: cm)
Chứng minh công thức
Cách 1: Sử dụng tích phân
Cách 2: Dùng phép biến đổi hình học
Các dạng bài tập diện tích hình elip
Dạng 1: Cho elip có độ dài trục lớn 2a và độ dài trục nhỏ 2b. Tính diện tích hình elip.
Ví dụ: Cho elip có độ dài trục lớn 10cm và độ dài trục nhỏ 8cm. Tính diện tích hình elip.
Giải:
Diện tích hình elip được tính bằng công thức:
\(S = \frac{\pi ab}{2} = \frac{\pi \times 10 \text{cm} \times 8 \text{cm}}{2} = 40\pi \text{cm}^2\)
Dạng 2: Cho elip có phương trình chính tắc. Tính diện tích hình elip.
Ví dụ: Cho elip có phương trình chính tắc:
\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)
Tính diện tích hình elip.
Giải:
Từ phương trình chính tắc, ta có:
a = 4
b = 3
Diện tích hình elip được tính bằng công thức:
\(S = πab = π * 4 * 3 = 12π cm²\)
Dạng 3: Cho elip có một số đặc điểm khác (như tiêu cự, tâm sai, bán kính lớn, bán kính nhỏ). Tính diện tích hình elip.
Ví dụ: Cho elip có tiêu cự 2c = 10cm và tâm sai e = \(\frac{1}{3}\). Tính diện tích hình elip.
Giải:
Từ tiêu cự 2c = 10cm, ta có:
c = 5
Từ tâm sai e = \(\frac{1}{3}\), ta có:
\(a = \frac{c}{e} = \frac{5}{\frac{1}{3}} = 15\)
\(b = \sqrt{a^2 – c^2} = \sqrt{15^2 – 5^2} = 12\sqrt{2}\)
Diện tích hình elip được tính bằng công thức:
\(S = \pi ab = \pi \times 15 \times 12\sqrt{2} = 180\pi\sqrt{2} \text{cm}^2\)
Bài tập trắc nghiệm
Diện tích của hình elip được tính như thế nào?
A) \( \pi \times a \times b \)
B) \( \frac{\pi}{2} \times a \times b \)
C) \( \frac{\pi}{4} \times a \times b \)
D) \( \frac{\pi}{8} \times a \times b \)
Đáp án: A) \( \pi \times a \times b \)
Công thức tính diện tích hình elip là gì?
A) \( \pi \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} \)
B) \( \pi \times a \times b \)
C) \( \pi \times (a + b) \)
D) \( \pi \times \frac{a + b}{2} \)
Đáp án: B) \( \pi \times a \times b \)
Bán kính lớn và bán kính nhỏ của hình elip lần lượt là \( a \) và \( b \). Diện tích hình elip được tính như thế nào?
A) \( \pi \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} \)
B) \( \frac{\pi}{2} \times a \times b \)
C) \( \frac{\pi}{4} \times a \times b \)
D) \( \pi \times a \times b \)
Đáp án: D) \( \pi \times a \times b \)
Hình elip có diện tích là \( 12\pi \). Nếu bán kính lớn \( a = 4 \), bán kính nhỏ \( b \) sẽ bằng bao nhiêu?
A) 3
B) 4
C) 6
D) 12
Đáp án: A) 3
Diện tích của một hình elip là \( 16\pi \). Nếu bán kính nhỏ là 2, bán kính lớn sẽ bằng bao nhiêu?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
Đáp án: C) 8
Nếu bán kính lớn của hình elip là 10 và bán kính nhỏ là 5, diện tích của hình elip là bao nhiêu?
A) \(50\pi\)
B) \(100\pi\)
C) \(150\pi\)
D) \(200\pi\)
Đáp án: B) \(100\pi\)
Diện tích của hình elip là 20. Nếu bán kính lớn là 4, bán kính nhỏ sẽ bằng bao nhiêu?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Đáp án: A) 1
Hình elip có diện tích là \(25\pi\). Nếu bán kính lớn \(a = 5\), bán kính nhỏ \(b\) sẽ bằng bao nhiêu?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Đáp án: B) 3
Nếu diện tích của một hình elip là \(36\pi\), và bán kính nhỏ \(b = 3\), bán kính lớn \(a\) sẽ bằng bao nhiêu?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
Đáp án: C) 5
Nếu diện tích của hình elip là \(9\pi\), và bán kính lớn \(a = 3\), bán kính nhỏ \(b\) sẽ bằng bao nhiêu?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
Đáp án: A) 1
Tóm lại, công thức tính diện tích hình elip là S = πab, trong đó a và b là bán trục lớn và bán trục nhỏ của hình elip. Việc nắm rõ công thức và cách áp dụng sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích hình elip một cách chính xác và hiệu quả.
Chúc bạn học tốt với toanhoc.edu.vn
