Hệ thống kiến thức đầy đủ về đạo hàm – Giải tích 11

Đạo hàm là một khái niệm quan trọng trong Toán học, đặc biệt là trong Giải tích 11. Nắm vững khái niệm đạo hàm và cách tính đạo hàm là điều kiện tiên quyết để học tập các chủ đề tiếp theo trong Giải tích 11 

Định nghĩa đạo hàm

Theo định nghĩa về mặt Toán học, đạo hàm là một tỉ số giữa số gia của đối số và số gia của hàm số tại một điểm bất kỳ gọi là điểm xo. Chiều biến thiên lên hay xuống của hàm số chính là giá trị của đạo hàm. Đây chính là lý do vì sao đạo hàm lại có ý nghĩa rất lớn trong vật lý và những ứng dụng trong cả hình học và hình học không gian.

Như vậy ta có: Cho hàm số có dạng y = f(x) xác định trong khoảng (a;b) và có điểm x0 € (a;b). Giới hạn hữu hạn (khi có nghĩa) của tỉ số khi x tới điểm xo được gọi là đạo hàm đã cho tại điểm xo.

Ký hiệu đạo hàm: f'(x) hay y'(x).

Ta có công thức tính đạo hàm như sau:

\(f'(x) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)

Lưu ý :

  • Ta có đai lượng \(\Delta x = x – x_0\) được gọi là số gia của đối số x tại x_0
  • Ta có đại lượng \(\Delta y = f(x) – f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) – f(x_0)\) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy ta có:

\(y'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)

Quy tắc đạo hàm

1. Quy tắc cộng:

\((u(x)+v(x))’u'(x) + v'(x)\)

2. Quy tắc nhân:

\((uv(x))’u'(x)v(x) + u(x)v’ (2)\)

3. Quy tắc thương:

\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’ = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)

4. Quy tắc hàm hợp:

\((f(g(x))’f(g(x)).g(x)\)

Bảng công thức đạo hàm cần nhớ

Bảng công thức đạo hàm cần nhớ

Bảng công thức đạo hàm lượng giác

\(\begin{align*}
(\sin(x))’ &= \cos(x) \\
(\cos(x))’ &= -\sin(x) \\
(\tan(x))’ &= \sec^2(x) \\
(\cot(x))’ &= -\csc^2(x) \\
(\sec(x))’ &= \sec(x)\tan(x) \\
(\csc(x))’ &= -\csc(x)\cot(x) \\
(\arcsin(x))’ &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arccos(x))’ &= \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} \\
(\arctan(x))’ &= \frac{1}{1+x^2}
\end{align*}\)

Bảng công thức đạo hàm của biến cố, hàm số và phân thức hữu tỉ

Bảng công thức đạo hàm của biến cố, hàm số và phân thức hữu tỉ

p điểm

Đây là dạng bài tập áp dụng các công thức đạo hàm phổ biến. Cụ thể với 

Các dạng bài tập liên quan tới đạo hàm

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Đây là một trong những dạng toán đạo hàm rất cơ bản về cả mặt lý thuyết và trong phương pháp giải. Để giải được dạng bài này, các em học sinh sẽ dựa trên định nghĩa, áp dụng công thức cơ bản để tính toán ra đáp án. Cụ thể:

\(f'(x_0) = lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)

\(f’_+(x_0) = lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} \)

\(f’_-(x_0) = lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)

Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm tại điểm \( x_0 \) khi và chỉ khi \( f'(x_0) \) tồn tại. 

Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm tại mọi điểm thì phải liên tục tại điểm đó.

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức liên quan tới đạo hàm

Ở dạng bài này các em học sinh sẽ được yêu cầu chứng minh hệ thức nào đó dựa trên những điều kiện có sẵn. Dạng bài tập này đòi hỏi các em phải tính toán, chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm sao cho chính xác và đưa ra kết quả.

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi được cho trước tiế

dạng bài này đề bài thường sẽ đưa ra một phương trình tiếp tuyến của hàm số của một đồ thị đường cong (C) có dạng: y= f(x), với một tiếp điểm (điểm tiếp xúc) M(X; Yo) cho sẵn, có dạng: \(y = y(xo)(x-x0)\) + Yo. Sau đó chỉ cần thêm các dữ liệu đề bài đã cho để tìm đáp án cuối cùng.

Ví dụ thực hành: Cho một hàm số \(y= x² + 3mx² + (m+1)x + 1 (1)\), với m là một tham số thực. Tìm các giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2).

Tập xác định của hàm số: D = R

Ta có: \(y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1\)

Với \(xo = -1 => yo= 2m -1\) và có f'(-1) = -5m +4[/latex]

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; 2m – 1): \(y=(-5m+4) (x+1) + 2m -1 (d)\)

Do đường tiếp tuyến đi qua điểm A (1;2) <=> \(( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m=⅝ \)

Vậy khi m = ⅝  điểm A (1;2) 10108 thì đồ thị có tiếp tuyến có hoành độ x = -1 và đi qua

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Hãy viết phương trình tiếp tuyến A của (C): y = f(x), biết A có hệ số góc là k cho trước

Gọi điểm M(X; Yo) là tiếp điểm. Tính đạo hàm ý từ đó tính được y'(x0)

Phương trình tiếp tuyến A có hệ số góc k => y’ = (xo) = k (i)

\(Xo => Yo = f(xo)\) => Phương trình tiếp tuyến A có dạng: \(y = k (x – xo)+ Yo\) Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0) của tiếp tuyến A thường cho kiểu gián tiếp như sau:

– Phương trình tiếp tuyến A // d: \(y = ax + b => k = a\)

– Phương trình tiếp tuyến A 1 d: \(y = ax + b => k = — 1 a\)

– Phương trình tiếp tuyến A tạo với trục hoành a => \([k] = tana\)

– Phương trình tiếp tuyến A tạo với đường thẳng d: \(y = ax + b một góc [latex]|k-a / 1+ka = tana | <= 0\)

Dạng 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Đây là dạng cần phải có kết hợp bởi nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm khác nhau để có thể giải phương trình hay bất phương trình để tìm được kết quả chính xác.

Dạng 6: Dùng công thức đạo hàm nguyên hàm

Ở dạng bài tập này đòi hỏi các em vừa phải hiểu bản chất, vừa phải nắm chắc các công thức tính đạo hàm đã chia sẻ ở trên. Trong trường hợp gặp phải những hàm số phức tạp, các em học sinh có thể tiến hành rút gọn hàm số trước rồi mới đạo hàm đặc biệt là những bài tập liên quan tới đạo hàm của hàm lượng giác

Dạng 7: Tính đạo hàm cấp cao

Đối với các bài tập đạo hàm cấp cao thường thiên yêu cầu học sinh tính đạo hàm cấp 2, nên các em có thể áp dụng các công thức đạo hàm cấp cao trên hoặc sử dụng \(y(n) = (y(n-1))’\).

Bên cạnh đó, để tính đạo hàm cấp n, các em sẽ phải tính lần lượt đạo hàm cấp 1, 2, 3… rồi từ đó suy luận ra công thức tính đạo hàm cấp n.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức đầy đủ và hữu ích về đạo hàm lớp 11.