\(y'(x_0) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{\Delta y}{\Delta x}\)
1. Quy tắc cộng:
\((u(x)+v(x))’u'(x) + v'(x)\)
2. Quy tắc nhân:
\((uv(x))’u'(x)v(x) + u(x)v’ (2)\)
3. Quy tắc thương:
\(\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)’ = \frac{u'(x)v(x) – u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}\)
4. Quy tắc hàm hợp:
\((f(g(x))’f(g(x)).g(x)\)
Đây là dạng bài tập áp dụng các công thức đạo hàm phổ biến. Cụ thể với
Đây là một trong những dạng toán đạo hàm rất cơ bản về cả mặt lý thuyết và trong phương pháp giải. Để giải được dạng bài này, các em học sinh sẽ dựa trên định nghĩa, áp dụng công thức cơ bản để tính toán ra đáp án. Cụ thể:
\(f'(x_0) = lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)\(f’_+(x_0) = lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} \)
\(f’_-(x_0) = lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0}\)Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm tại điểm \( x_0 \) khi và chỉ khi \( f'(x_0) \) tồn tại.
Hàm số \( f(x) \) có đạo hàm tại mọi điểm thì phải liên tục tại điểm đó.
Ở dạng bài này các em học sinh sẽ được yêu cầu chứng minh hệ thức nào đó dựa trên những điều kiện có sẵn. Dạng bài tập này đòi hỏi các em phải tính toán, chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm sao cho chính xác và đưa ra kết quả.
dạng bài này đề bài thường sẽ đưa ra một phương trình tiếp tuyến của hàm số của một đồ thị đường cong (C) có dạng: y= f(x), với một tiếp điểm (điểm tiếp xúc) M(X; Yo) cho sẵn, có dạng: \(y = y(xo)(x-x0)\) + Yo. Sau đó chỉ cần thêm các dữ liệu đề bài đã cho để tìm đáp án cuối cùng.
Ví dụ thực hành: Cho một hàm số \(y= x² + 3mx² + (m+1)x + 1 (1)\), với m là một tham số thực. Tìm các giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2).
Tập xác định của hàm số: D = R
Ta có: \(y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1\)
Với \(xo = -1 => yo= 2m -1\) và có f'(-1) = -5m +4[/latex]
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1; 2m – 1): \(y=(-5m+4) (x+1) + 2m -1 (d)\)
Do đường tiếp tuyến đi qua điểm A (1;2) <=> \(( -5m + 4).2 + 2m – 1 = 2 => m=⅝ \)
Vậy khi m = ⅝ điểm A (1;2) 10108 thì đồ thị có tiếp tuyến có hoành độ x = -1 và đi qua
Hãy viết phương trình tiếp tuyến A của (C): y = f(x), biết A có hệ số góc là k cho trước
Gọi điểm M(X; Yo) là tiếp điểm. Tính đạo hàm ý từ đó tính được y'(x0)
Phương trình tiếp tuyến A có hệ số góc k => y’ = (xo) = k (i)
\(Xo => Yo = f(xo)\) => Phương trình tiếp tuyến A có dạng: \(y = k (x – xo)+ Yo\) Lưu ý: Hệ số góc k = y'(x0) của tiếp tuyến A thường cho kiểu gián tiếp như sau:
– Phương trình tiếp tuyến A // d: \(y = ax + b => k = a\)
– Phương trình tiếp tuyến A 1 d: \(y = ax + b => k = — 1 a\)
– Phương trình tiếp tuyến A tạo với trục hoành a => \([k] = tana\)
– Phương trình tiếp tuyến A tạo với đường thẳng d: \(y = ax + b một góc [latex]|k-a / 1+ka = tana | <= 0\)
Đây là dạng cần phải có kết hợp bởi nhiều công thức đạo hàm và nguyên hàm khác nhau để có thể giải phương trình hay bất phương trình để tìm được kết quả chính xác.
Ở dạng bài tập này đòi hỏi các em vừa phải hiểu bản chất, vừa phải nắm chắc các công thức tính đạo hàm đã chia sẻ ở trên. Trong trường hợp gặp phải những hàm số phức tạp, các em học sinh có thể tiến hành rút gọn hàm số trước rồi mới đạo hàm đặc biệt là những bài tập liên quan tới đạo hàm của hàm lượng giác
Đối với các bài tập đạo hàm cấp cao thường thiên yêu cầu học sinh tính đạo hàm cấp 2, nên các em có thể áp dụng các công thức đạo hàm cấp cao trên hoặc sử dụng \(y(n) = (y(n-1))’\).
Bên cạnh đó, để tính đạo hàm cấp n, các em sẽ phải tính lần lượt đạo hàm cấp 1, 2, 3… rồi từ đó suy luận ra công thức tính đạo hàm cấp n.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức đầy đủ và hữu ích về đạo hàm lớp 11.
Với niềm đam mê mãnh liệt đối với toán học, tôi luôn mong muốn truyền tải kiến thức và khơi gợi niềm yêu thích môn học này cho thế hệ trẻ. Tôi luôn tận tâm trong công việc giảng dạy, sử dụng phương pháp giảng dạy sáng tạo và hiệu quả để giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng và hứng thú. Với những thành tựu xuất sắc trong lĩnh vực toán học, tôi đã nhận được nhiều giải thưởng danh giá và được cộng đồng khoa học đánh giá cao. Tôi là nguồn cảm hứng và tấm gương sáng cho các thế hệ học sinh và sinh viên yêu thích toán học.