Nắm vững kiến thức cộng trừ và nhân số phức

Cộng trừ và nhân số phức là những phép toán cơ bản và quan trọng nhất trong số phức. Nắm vững các phép toán này là nền tảng để học tập và nghiên cứu các chủ đề nâng cao hơn

Lý thuyết cộng trừ và nhân số phức

Cộng và trừ số phức

Cộng

  • Cho hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i, ta có:

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

  • Ví dụ: (2 + 3i) + (4 – i) = 6 + 2i

Trừ

  • Cho hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i, ta có:

z1 – z2 = (a1 – a2) + (b1 – b2)i

  • Ví dụ: (2 + 3i) – (4 – i) = -2 + 4i

Tính chất

  • Phép cộng và phép trừ số phức có các tính chất giao hoán, kết hợp và cộng với số 0:
  • Giao hoán: z1 + z2 = z2 + z1
  • Kết hợp: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
  • Cộng với số 0: z + 0 = 0 + z = z

Nhân số phức

  • Cho hai số phức z1 = a1 + b1i và z2 = a2 + b2i, ta có:

z1 * z2 = (a1 * a2 – b1 * b2) + (a1 * b2 + a2 * b1)i

  • Ví dụ: (2 + 3i) * (4 – i) = 14 + 5i

Tính chất

  • Phép nhân số phức có các tính chất kết hợp, giao hoán và nhân với số 1:
  • Kết hợp: (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)
  • Giao hoán: z1 * z2 = z2 * z1
  • Nhân với số 1: z * 1 = 1 * z = z

Phân biệt với số thực

  • Phép cộng và phép trừ số phức tương tự như phép cộng và phép trừ số thực.
  • Phép nhân số phức có phần khác biệt so với phép nhân số thực, vì nó có thêm phần ảo.

Bài tập cộng trừ và nhân số phức có lời giải chi tiết

Bài 1:

Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 4 – i. Tìm:

  1. a) z1 + z2
  2. b) z1 – z2
  3. c) z1 * z2

Lời giải:

  1. a) z1 + z2 = (2 + 4) + (3 – 1)i = 6 + 2i
  2. b) z1 – z2 = (2 – 4) + (3 + 1)i = -2 + 4i
  3. c) z1 * z2 = (2 * 4 – 3 * -1) + (2 * -1 + 3 * 4)i = 14 + 5i

Bài 2:

Giải phương trình số phức:

z^2 + 2z + 1 = 0

Lời giải:

Phương trình z^2 + 2z + 1 = 0 có dạng a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 = 0, với a = z và b = 1.

Do đó, z + 1 = 0, suy ra z = -1.

Bài 3:

Cho số phức z thỏa mãn |z| = 5. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ.

Lời giải:

Ta có: |z| = |a + bi| = √(a^2 + b^2) = 5.

Do đó, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm O(0; 0) bán kính 5 trên mặt phẳng tọa độ.

Bài tập trắc nghiệm số phức 

Câu 1: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 1 – 2i . Tìm khẳng định sai

  1. z1 + z2 = 3 + i    
  2. z1 – z2 = 1 + 5i
  3. z1.z2 = 8 – i    

D.z1. z2 = 8 + i

Câu 2: Cho hai số phức z1= – 3 + 4i, z2 = 4 – 3i . Môđun của số phức z = z1 + z2 + z1. z2 là

  1. 27   
  2. √27   
  3. √677   
  4. 677

Câu 3: Phần thực và phần ảo của số phức z = (3 + 4i)(4 – 3i) + (2 – i)(3 + 2i) là

  1. 32 và 8i   

B.32 và 8    

  1. 18 và -14   
  2. 32 và -8

Câu 4: Cho các số phức z1 = -1 + i, z2 = 1 – 2i, z3 = 1 + 2i . Giá trị của biểu thức T = |z1z2 + z2z3 + z3z1| là

  1. 1   
  2. √13   
  3. 5   
  4. 13

Câu 5: Tổng của hai số phức z1 = 1 – 2i, z2 = 2 – 3i là

  1. 2 + 5i   
  2. 3 – 5i   
  3. 1 + 5i   
  4. 1 – 5i

Câu 6: Cho hai số phức z1 = 2 + 3i, z2 = 2 – 4i . Hiệu z1 – z2 bằng

  1. 2 + 7i   
  2. 2 – i   
  3. 7i   
  4. – 7i

Câu 7: Tích của hai số phức z1 = 3 + 2i, z2 = 2 – 3i là

  1. 6 – 6i    
  2. 12   
  3. – 5i    
  4. 12 – 5i

Câu 8: Số phức z = (1 + i)2 bằng

  1. 2i   
  2. 1 + 3i    
  3. – 2i    
  4. 0

Câu 9: Số phức z = (1 – i)3 bằng

  1. 1 + i   
  2. – 2 – 2i    
  3. – 2 + 2i    
  4. 4 + 4i

Câu 10: Môđun của tổng hai số phức z1 = 3 – 4i và z2 = 4 + 3i là

  1. 5√2   
  2. 8   
  3. 10    
  4. 50

Như vậy, bài viết đã trình bày chi tiết về các phép toán cộng, trừ, nhân số phức. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan đến số phức một cách dễ dàng.