Lý thuyết và công thức tích vô hướng lớp 12

Công thức Tích vô hướng là một công cụ toán học hữu ích để giải quyết nhiều bài toán trong các lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ về tích vô hướng là điều cần thiết cho học sinh lớp 12 để có thể học tốt chương Giải tích.

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn những thông tin cơ bản về tích vô hướng, bao gồm định nghĩa, tính chất và ứng dụng.

Định nghĩa tích vô hướng

Tích vô hướng của hai vectơ \vec{a} và {b} là một số thực được ký hiệu là \vec{a} \cdot \vec{b} và được xác định bởi công thức:

\begin{equation} \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos(\theta) \end{equation}

trong đó:

  • ∣a∣ và ∣b∣ là độ dài của vectơ a và b
  • θ là góc giữa vectơ a và b

Tính chất của tích vô hướng

  • Tích vô hướng có tính giao hoán:\((\vec{a} \cdot \vec{b})=\vec{b}.(\vec{a}\)
  • Tích vô hướng có tính kết hợp: \((\vec{a} \cdot \vec{b})⋅\vec{C}=\vec{a}.(\vec{b}.\vec{c})\)
  • Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của vectơ đó: \(\vec{a}.\vec{a}=∣\vec{a}∣2\)
  • Tích vô hướng của hai vectơ cùng phương có giá trị dương, tích vô hướng của hai vectơ ngược phương có giá trị âm, và tích vô hướng của hai vectơ vuông góc bằng 0.
  • Xác định vị trí tương đối của điểm và đường thẳng, điểm và mặt phẳng

Công thức tích vô hướng trong hệ tọa độ Oxyz

Cho hai vectơ \(\vec{a} = (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \vec{a_3})\) và \(\vec{b} =(\vec{b_1}, \vec{b_2}, \vec{b_3})\), tích vô hướng của hai vectơ được tính theo công thức:

\begin{equation} \vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \end{equation}

Ví dụ:

Cho hai vectơ a=(1,2,3) và b=(2,−1,0). Tính tích vô hướng của hai vectơ.

Lời giải:

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1, 2, 3) \cdot (2, -1, 0) \) \(= 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0\)

= 0

Ứng dụng của tích vô hướng

Độ dài hai vectơ

Tích vô hướng của một vectơ với chính nó bằng bình phương độ dài của vectơ đó. Do đó, để tính độ dài của vectơ a, ta có thể sử dụng công thức:

\(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}\)

Góc giữa hai vectơ

Công thức cosin của góc giữa hai vectơ a và b được biểu diễn như sau:

\(cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}\)

Từ đó, ta có thể tính được góc θ giữa hai vectơ.

Khoảng cách giữa hai điểm

Cho hai điểm A và B có tọa độ tương ứng là a và b, khoảng cách giữa hai điểm A và B được tính theo công thức:

AB = \(|\vec{b} – \vec{a}| = \sqrt{(\vec{b} – \vec{a}) \cdot (\vec{b} – \vec{a})}\)

Ví dụ

  1. Tính độ dài của vectơ a=(2,3,1).

Lời giải:

\(|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{14}\)

  1. Tính góc giữa hai vectơ a=(1,2,3) và b=(2,−1,0).

Lời giải:

\(cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0}{√(1^2 + 2^2 + 3^2) √(2^2 + (-1)^2 + 0^2)} = -\frac{1}{√14}\)

⇒ ∠(a,b) ≈ 104,5°

  1. Tính khoảng cách giữa hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 1).

Lời giải:

AB = \(|\vec{b} – \vec{a}| = √[(4 – 1)^2 + (5 – 2)^2 + (1 – 3)^2] = √15\)

Bài tập hướng dẫn

Bài 1:
Cho hai vectơ \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) và \(\vec{b} = (2, -1, 0)\). Tính:

a) Tích vô hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).

b) Góc giữa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\).

c) Độ dài của vectơ \(\vec{a} + \vec{b}\).

a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = (1, 2, 3) \cdot (2, -1, 0) = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 = 0\).

b) \(\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{0}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} \cdot \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2}} = 0\).

⇒ \(\theta = 90^\circ\).

c) \(|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} + \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2} = \sqrt{14} + \sqrt{5}\).
a) \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\).

b) \(\theta = 90^\circ\).

c) \(|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{14} + \sqrt{5}\).

Bài 2: Cho tam giác ABC có A(1, 2, 3), B(4, 5, 1) và C(7, 9, 5).

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính diện tích tam giác ABC.

a) \(\overrightarrow{AB} = (4 – 1, 5 – 2, 1 – 3) = (3, 3, -2)\).

\(\overrightarrow{AC} = (7 – 1, 9 – 2, 5 – 3) = (6, 7, 2)\).

\(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (3, 3, -2) \cdot (6, 7, 2) = 3 \cdot 6 + 3 \cdot 7 + (-2) \cdot 2 = 27\).

Vì \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\) nên \(\widehat{BAC} = 90^\circ\).

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

b) \(S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}| \sin(\widehat{BAC}) = \frac{1}{2} \sqrt{22} \sqrt{94} = \frac{1}{2} \sqrt{2156}\).

Tích vô hướng là một khái niệm quan trọng trong môn Toán học lớp 12. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích về lý thuyết và công thức tích vô hướng.