Lý thuyết chia đa thức cho đơn thức - Toán lớp 8

Trong toán học, đa thức và đơn thức là những khái niệm vô cùng quan trọng. Phép chia đa thức cho đơn thức là một phép toán cơ bản có nhiều ứng dụng trong thực tế. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm, quy tắc và các dạng bài tập liên quan đến phép chia đa thức cho đơn thức.

Khái niệm chia đa thức cho đơn thức

Chia đa thức cho đơn thức là một phần quan trọng trong học đại số, đặc biệt là trong chương trình học toán lớp 8 và cao hơn. Đây là quá trình phân chia mỗi hạng tử của đa thức (biểu thức đại số bao gồm hai hạng tử trở lên được kết nối bởi phép cộng hoặc phép trừ) cho một đơn thức (biểu thức đại số chỉ bao gồm một hạng tử).

Có thể chia đa thức A cho đơn thức B (B ≠ 0) khi và chỉ khi mọi hạng tử của A đều chia hết cho B.

Ví dụ:

• Đa thức \(2x^2y^3\) chia hết cho đơn thức \(xy^2\) vì mọi hạng tử của \(2x^2y^3\) đều chia hết cho \(xy^2\).
• Đa thức \(3x^2y^3z^4\) không chia hết cho đơn thức \(-2x^3yz^2\) vì hạng tử \(3x^2y^3\) của A không chia hết cho hạng tử \(-2x^3\) của B.

Quy tắc chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (B ≠ 0), ta làm như sau:

Bước 1: Chia hệ số của đa thức A cho hệ số của đơn thức B.

Bước 2: Mỗi lũy thừa của biến trong đơn thức A chia cho lũy thừa tương ứng của biến trong đơn thức B (nếu có).

Bước 3: Bỏ các lũy thừa có số mũ bằng 0.

Ví dụ:

Chia đơn thức \(3x^2y^3z^4\) cho đơn thức \(-2x^3yz^2\), ta được:

\(
\frac{3x^2y^3z^4}{-2x^3yz^2} = \left(-\frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{x^2}{x^3}\right) \times \left(\frac{y^3}{y}\right) \times \left(\frac{z^4}{z^2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)xz^3
\)

Lưu ý:

• Quy tắc chia đa thức cho đơn thức tương tự như quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
• Khi chia đơn thức cho đơn thức, ta có thể sử dụng máy tính cầm tay.

Ví dụ:

Sử dụng máy tính cầm tay để chia đơn thức \(3x^2y^3z^4\) cho đơn thức \(-2x^3yz^2\), ta được:

\(
\frac{3x^2y^3z^4}{-2x^3yz^2} = -\frac{3}{2}xz^3
\)

Dưới đây là một số ví dụ về chia đa thức cho đơn thức:

Ví dụ 1:

Chia đa thức A = \(2x^2 + 3xy – 4y^2\) cho đơn thức B = xy, ta được:

\(\frac{A}{B}\) = \(\frac{2x^2}{xy} + \frac{3xy}{xy} – \frac{4y^2}{xy} = \frac{2x}{y} + 3 – \frac{4y}{x}
\)

Ví dụ 2:

Chia đa thức A = \(x^3 + 2x^2y – 3xy^2 + 4y^3\) cho đơn thức B = \(xy^2\), ta được:

\(\frac{A}{B}\)= \(\frac{x^3}{xy^2} + \frac{2x^2y}{xy^2} – \frac{3xy^2}{xy^2} + \frac{4y^3}{xy^2} = \frac{x}{y} + 2x – 3 + \frac{4y}{x^2}
\)

Các trường hợp đặc biệt của chia đa thức cho đơn thức

Khi chia đa thức cho đơn thức, có một số trường hợp đặc biệt cần được xem xét để thực hiện phép chia một cách chính xác. Dưới đây là một số trường hợp đặc biệt mà bạn cần lưu ý:

Hạng tử không chia hết cho đơn thức:

Nếu một hạng tử của đa thức không chia hết cho đơn thức, kết quả sẽ là một phân số không thể rút gọn. Ví dụ:

Chia \(3x^2y\) cho2x: Kết quả là\(\frac{3xy}{2}\)
, không thể rút gọn.

Khi số mũ của biến trong hạng tử bé hơn số mũ của biến trong đơn thức:

Nếu số mũ của biến trong hạng tử bé hơn số mũ của biến trong đơn thức, kết quả sẽ là 0. Ví dụ:

Chia 2x cho \(3x^2\): Kết quả là 0, vì không có đủ số mũ của x trong 2x để chia cho \(3x^2\)

Khi đơn thức chia là 0:

Nếu đơn thức chia là 0, phép chia sẽ không hợp lệ vì không thể chia cho 0.

Khi đa thức bị chia là 0:

Nếu đa thức bị chia là 0, kết quả phép chia sẽ luôn là 0.

Khi đa thức bị chia là một hằng số:

Nếu đa thức bị chia là một hằng số, kết quả sẽ là một hằng số chia cho đơn thức. Ví dụ:

Chia 12 cho 3x: Kết quả là \(\frac{12}{3x} = \frac{4}{x}\)

 Khi đơn thức chia là một hằng số:

Nếu đơn thức chia là một hằng số, mỗi hạng tử của đa thức sẽ được chia cho hằng số đó. Không có xử lý số mũ của biến trong trường hợp này.

Các dạng bài tập liên quan 

Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp liên quan đến chia đa thức cho đơn thức kèm lời giải:

Dạng 1: Chia đa thức cho đơn thức

Cách giải:

• Bước 1: Chia hệ số của đa thức A cho hệ số của đơn thức B.
• Bước 2: Mỗi lũy thừa của biến trong đơn thức A chia cho lũy thừa tương ứng của biến trong đơn thức B (nếu có).
• Bước 3: Bỏ các lũy thừa có số mũ bằng 0.

Ví dụ:

Chia đơn thức \(2x^2y^3\) cho đơn thức \(xy^2\).

Giải:

\(
\frac{2x^2y^3}{xy^2} = \left(\frac{2}{1}\right) \times \left(\frac{x^2}{x}\right) \times \left(\frac{y^3}{y^2}\right) = 2xy
\)

Chia đơn thức \(3x^3y^2z^4\) cho đơn thức \(-2x^2y^3z\).

Giải:

\(
\frac{3x^3y^2z^4}{-2x^2y^3z} = \left(-\frac{3}{2}\right) \times \left(\frac{x^3}{x^2}\right) \times \left(\frac{y^2}{y^3}\right) \times \left(\frac{z^4}{z}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)xz^3
\)

Dạng 2: Rút gọn biểu thức

Cách giải:

• Bước 1: Chia các đơn thức trong biểu thức cho đơn thức chung (nếu có).
• Bước 2: Bỏ các thừa số bằng 1.

Ví dụ:

Rút gọn biểu thức: \(
\frac{3x^2y^3z^4}{xy^2z^2}\).

Giải:

\(
\frac{3x^2y^3z^4}{xy^2z^2} = 3 \times \frac{x^2}{x} \times \frac{y^3}{y^2} \times \frac{z^4}{z^2} = 3xz^2
\)

Rút gọn biểu thức:\(
\frac{2x^3y^2}{xy^3}
\)

Giải:

\(
\frac{2x^3y^2}{xy^3} = 2 \times \frac{x^3}{x} \times \frac{y^2}{y^3} = \frac{2x^2}{y}
\)

Dạng 3: Giải phương trình

Cách giải:

• Bước 1: Chia hai vế của phương trình cho đơn thức chung (nếu có).
• Bước 2: Giải phương trình thu được.

Ví dụ:

Giải phương trình: \(
\frac{2x^2y^3}{xy^2} = 2x
\)

Giải:

\(
\frac{2x^2y^3}{xy^2} = 2x \implies 2xy = 2x \implies y = 1
\)

Giải phương trình:\(\frac{3x^3y^2z^4}{-2x^2y^3z}\) =\(6z^3\)

Giải:

\(\frac{3x^3y^2z^4}{-2x^2y^3z}\) =\(6z^3\)

=>\(-\frac{3}{2}xz^3\)= \(6z^3\)

=> x = -4

Dạng 4: Giải bất phương trình

Cách giải:

• Bước 1: Chia hai vế của bất phương trình cho đơn thức chung (nếu có).
• Bước 2: Giải bất phương trình thu được.

Ví dụ:

Giải bất phương trình:\(\frac{3x^2y^3z^4}{-2x^3yz^2}\) > 0.

Giải:

\(\frac{3x^2y^3z^4}{-2x^3yz^2}\) > 0

=> \(-\frac{3}{2}yz^2\)> 0

=> \(yz^2\) < 0

Giải bất phương trình:\(\frac{2x^3y^2}{xy^3} < 1\).

Giải:

\(
\frac{2x^3y^2}{xy^3} < 1 \implies \frac{2x^2}{y} < 1 \implies 2x^2 – y < 0
\)
Tóm lại, phép chia đa thức cho đơn thức là một phép toán cơ bản và quan trọng trong toán học. Việc nắm vững kiến thức về phép chia đa thức cho đơn thức giúp học sinh giải quyết được nhiều dạng bài tập toán học và ứng dụng trong thực tế. Do vậy, mỗi học sinh cần ôn tập và luyện tập thường xuyên để nắm vững kiến thức này.