Cấp số cộng – Tổng hợp công thức quan trọng

Cấp số cộng là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đóng vai trò thiết yếu trong việc giải các bài toán liên quan đến dãy số. Hiểu rõ về cấp số cộng sẽ giúp học sinh giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.

Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về cấp số cộng lớp 11, bao gồm định nghĩa, tính chất, công thức và ứng dụng.

Định nghĩa cấp số cộng

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.

Tổng hợp công thức cấp số cộng lớp 11

Số hạng tổng quát

Với cấp số cộng \((u_n)\) có số hạng đầu \(u_1\) và công sai d, số hạng tổng quát \(u_n\) được xác định bởi công thức:

\(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với n ≥ 2

Tổng n số hạng đầu tiên

Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u_1 và công sai d được tính theo công thức:

\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)

Một số tính chất

  • Hai số hạng cách đều số hạng đầu tiên của cấp số cộng có tổng bằng nhau.
  • Tổng n số hạng liên tiếp bất kỳ của cấp số cộng bằng tổng n số hạng đầu tiên trừ đi tổng n – 1 số hạng đầu tiên.
  • Trung bình cộng của n số hạng liên tiếp bất kỳ của cấp số cộng bằng số hạng chính giữa.

Ví dụ

Cho cấp số cộng (1, 4, 7, 10, …) với \(u_1\) = 1 và d = 3.

  • Số hạng thứ 10: \(u_10 = 1 + (10 – 1)3 = 28\)
  • Tổng 10 số hạng đầu tiên: \(S_10 = 10/2 (2.1 + (10 – 1)3) = 155\)

Tổng hợp công thức cấp số cộng lớp 11

Số hạng tổng quát

\(u_n = u_1 + (n – 1)d\) với n ≥ 2

Tổng n số hạng đầu tiên

\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)

Một số công thức khác

  • Công sai: \(d = u_n – u_(n-1)\)
  • Số hạng thứ n: \(u_n = S_n – S_(n-1)\)
  • Trung bình cộng của n số hạng liên tiếp: \(u_(n/2) = (u_1 + u_n)/2\)

Ví dụ

Cho cấp số cộng (1, 4, 7, 10, …) với \(u_1 = 1\) và d = 3.

  • Số hạng thứ 10: \(u_10 = 1 + (10 – 1)3 = 28\)
  • Tổng 10 số hạng đầu tiên: \(S_10 = 10/2 (2.1 + (10 – 1)3) = 155\)

Bài tập vận dụng có lời giải cho cấp số cộng

Bài 1

Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1 = 3\) và \(u_10 = 29\). Tính tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Lời giải:

Cách 1:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát:

\(u_n = u_1 + (n – 1)d\)

Ta có:

\(u_10 = u_1 + (10 – 1)d = 3 + 9d = 29\)

Suy ra d = 3.

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

\(S_10 = 10/2 (2u_1 + (10 – 1)d) = 10/2 (2.3 + 9.3) = 150\)

Cách 2:

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên:

\(S_n = n/2 (2u_1 + (n – 1)d)\)

Ta có:

\(S_10 = 10/2 (2.3 + (10 – 1)3) = 10/2 (2.3 + 27) = 150\)

Vậy tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là 150.

Bài 2

Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 1 và \(u_n\) = 4n – 3. Tìm số hạng thứ 2023 của cấp số cộng.

Lời giải:

Sử dụng công thức số hạng tổng quát:

\(u_n = u_1 + (n – 1)d\)

Ta có:

\(u_n = 1 + (n – 1)3 = 4n – 3\)

Vậy số hạng thứ 2023 của cấp số cộng là:

\(u_2023 = 4.2023 – 3 = 8091\)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_5\) = 11 và d = -2. Tìm số hạng thứ 100 của cấp số cộng.

Bài 2: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 3 và \(u_n = 2n + 1\). Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng.

Bài 3: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 10 và \(u_100\) = 200. Tìm tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.

Bài 4: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_2\) = 4 và \(u_7\) = 16. Tìm số hạng thứ 2023 của cấp số cộng.

Bài 5: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 1 và \(d = 3\). Tìm tổng 100 số hạng lẻ đầu tiên của cấp số cộng.

Bài 6: Cho cấp số cộng \((u_n)\) có \(u_1\) = 2 và \(d = -5\). Tìm tổng 200 số hạng chẵn đầu tiên

Cấp số cộng là một chủ đề tuy đơn giản nhưng lại có nhiều ứng dụng thực tế. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cấp số cộng và có thể áp dụng kiến thức này vào các bài toán thực tế.