Lý thuyết phép cộng các phân thức đại số - Toán lớp 8

Phép cộng các phân thức đại sốlà một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học lớp 8. Hiểu rõ về phép cộng các phân thức đại số giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.

Định nghĩa phép cộng phân thức đại số

Khái niệm

Phép cộng phân thức đại số là một trong những phép toán cơ bản trong đại số. Phân thức đại số là biểu thức toán học chứa các biến số và có dạng A/B, trong đó A là tử thức và B là mẫu thức (với B không bằng 0). 

Quy tắc 

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử:

• Tìm các thừa số chung và riêng của các mẫu thức.
• Lấy tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất và tích các thừa số riêng.

Quy đồng mẫu thức: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức:

Sau khi quy đồng mẫu thức, ta có thể cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Lưu ý:

• Khi cộng hai phân thức đại số, ta cần lưu ý các điểm sau:
•  Phân tích các mẫu thức thành nhân tử một cách cẩn thận.
• Tìm BCNN của các mẫu thức một cách chính xác.
• Tìm nhân tử phụ một cách cẩn thận.
• Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Sau khi quy đồng mẫu thức, ta cần kiểm tra xem các phân thức mới có giá trị bằng các phân thức ban đầu hay không.

Ví dụ:

Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(P = \frac{1}{x}\) ; \(R = \frac{2}{{x + 1}}\) ; \(R = \frac{3}{{x^2 + 2x + 1}}\) 

Giải:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.

• x = x
• x + 1 = (x + 1)
• \(x^2 + 2x + 1\) = \((x + 1)^2\)
• BCNN\((x, x + 1, (x + 1)^2)\) = \((x + 1)^2\)

Bước 2: Tìm nhân tử phụ.

• Nhân tử phụ của P: \((x + 1)^2\)
• Nhân tử phụ của Q: x
• Nhân tử phụ của R: x

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

• \(P = \frac{{1 \cdot (x + 1)^2}}{{x \cdot (x + 1)^2}} = \frac{{(x + 1)^2}}{{x(x + 1)^2}}
  \) 
• \(Q = \frac{{2x}}{{(x + 1)}} \cdot x = \frac{{2x^2}}{{(x + 1)^2}}\)
• \(R = \frac{{3x}}{{(x + 1)^2}} \cdot x = \frac{{3x^2}}{{(x + 1)^2}}\)

Vậy:

\(P = \frac{{1 \cdot (x + 1)^2}}{{x \cdot (x + 1)^2}}\) 

\(Q = \frac{{2x^2}}{{(x + 1)^2}}\)

\(R = \frac{{3x^2}}{{(x + 1)^2}}\) 

Phép cộng hai phân thức cùng mẫu thức

Quy tắc:Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

Ví dụ:

A + B = \(\frac{{2x + 3}}{{x + 1}} + \frac{{5x – 1}}{{x + 1}}\) = \(\frac{{(2x + 3 + 5x – 1)}}{{(x + 1)}}\) = \(\frac{{7x + 2}}{{x + 1}}\)

Lưu ý:

• Hai phân thức phải có cùng mẫu thức.
• Khi cộng hai tử thức, ta cần lưu ý đến các dấu của các số hạng.

Bài tập:

Cộng hai phân thức sau:

\(E = \frac{1}{{x^2}} – 1\) ;

\(F = \frac{{2x}}{{x^2}} – 1\) 

Giải:

E + F = \(\frac{1}{{x^2}} – 1 + \frac{{2x}}{{x^2}} – 1\) =\(\frac{{1 + 2x}}{{x^2 – 1}}\)

Kết luận:

Phép cộng hai phân thức cùng mẫu thức là một phép toán cơ bản trong đại số. Hiểu rõ quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu thức giúp học sinh giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức một cách hiệu quả và chính xác.

Phép cộng hai phân thức khác mẫu thức

Muốn cộng hai phân thức khác mẫu thức, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Cách quy đồng mẫu thức:

Cách 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử và chọn ra các thừa số chung và riêng. Lấy tích các thừa số chung với số mũ lớn nhất và tích các thừa số riêng.

Cách 2: Sử dụng phương pháp “cộng đại số”.

Ví dụ:

A + B = \(\frac{1}{x} + \frac{2}{x} + 1\)

\(= \frac{{1 \cdot (x + 1)}}{x} \cdot (x + 1) + \frac{{2 \cdot x}}{{(x + 1)}} \cdot x
\) 

= \(\frac{{x + 1 + 2x}}{{x(x + 1)}} = \frac{{3x + 1}}{{x(x + 1)}}\)

Lưu ý:

Khi quy đồng mẫu thức, ta cần lưu ý đến các dấu của các số hạng.Sau khi quy đồng mẫu thức, ta cần kiểm tra xem các phân thức mới có giá trị bằng các phân thức ban đầu hay không.

Bài tập:

Cộng hai phân thức sau:

\(E = \frac{1}{{x^2}} – 1\) 

\(F = \frac{{2x}}{{x^2}} + 2x + 1\)

Giải:

Bước 1: Phân tích các mẫu thức thành nhân tử.

\(E = \frac{1}{{x^2}} – 1 = \frac{1}{{(x – 1)(x + 1)}}\)

\(F = \frac{{2x}}{{x^2}} + 2x + 1 = \frac{{2x}}{{(x + 1)^2}}\)

Bước 2: Quy đồng mẫu thức.

BCNN\(((x – 1)(x + 1), (x + 1)^2)\) = \((x + 1)^2\)

Nhân tử phụ của E: (x + 1)

Nhân tử phụ của F: 1

Bước 3: Cộng các phân thức có cùng mẫu thức.

\(E + F = \frac{{(x + 1)}}{{(x – 1)(x + 1)}} \cdot (x + 1) + \frac{{2x}}{{(x + 1)^2}} \cdot 1 = \frac{{(x + 1 + 2x)}}{{(x + 1)^2}} = \frac{{3x + 1}}{{(x + 1)^2}}
\) 

Tính chất của phép cộng phân thức

Tính chất giao hoán:

A + B = B + A

Ví dụ:

\(\frac{1}{x} + \frac{2}{x} + 1 = \frac{2}{x} + 1 + \frac{1}{x}\) 

Tính chất kết hợp:

(A + B) + C = A + (B + C)

Ví dụ:

\(\left(\frac{1}{x} + \frac{2}{x} + 1\right) + \frac{3}{x^2} + 1 = \frac{1}{x} + \left(\frac{2}{x} + 1 + \frac{3}{x^2} + 1\right)\)

Tính chất cộng với số 0:

A + 0 = A; 0 + A = A

Ví dụ:

\(\frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x} \quad \text; \quad 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\)

Tính chất cộng với số đối:

A + (-A) = 0

Ví dụ:

\(\frac{1}{x} + \left(-\frac{1}{x}\right) = 0\)

Tính chất phân phối:

A(B + C) = AB + AC

Ví dụ:

\(\frac{1}{x}\left(\frac{2}{x} + 1\right) = \frac{2}{x^2} + \frac{1}{x}\) 

Lưu ý:Các tính chất của phép cộng phân thức chỉ đúng khi các phân thức có nghĩa.

Ứng dụng:

• Các tính chất của phép cộng phân thức được sử dụng để giải các bài toán liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia phân thức.
• Các tính chất của phép cộng phân thức cũng được sử dụng để rút gọn phân thức.

Ví dụ:

Bài toán:Rút gọn phân thức

P =\(\frac{x + 1}{x^2 – 1} + \frac{x – 1}{x^2 – 1}\) 

Giải:

P = \(\frac{x + 1}{x^2 – 1} + \frac{x – 1}{x^2 – 1}\) 

= \(\frac{{x + 1 + x – 1}}{{x^2 – 1}}\) 

=  \(\frac{{2x}}{{x^2 – 1}}\) 

=  \(\frac{2}{{(x – 1)(x + 1)}}\)

Ứng dụng của phép cộng phân thức

Phép cộng phân thức được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, bao gồm:

Toán học:

• Giải các bài toán liên quan đến cộng, trừ, nhân, chia phân thức.
• Rút gọn phân thức.
• Giải các phương trình phân thức.
• Chứng minh các định lý toán học.

Vật lý:

• Tính toán các đại lượng vật lý như vận tốc, gia tốc, lực, năng lượng.
• Giải các bài toán liên quan đến chuyển động, lực, năng lượng.
• Mô hình hóa các hiện tượng vật lý.

Kỹ thuật:

• Giải các bài toán liên quan đến mạch điện, điện tử.
• Thiết kế các hệ thống điều khiển.
• Mô hình hóa các hệ thống kỹ thuật.

Kinh tế học:

• Tính toán các đại lượng kinh tế như lợi nhuận, chi phí, giá cả.
• Giải các bài toán liên quan đến đầu tư, sản xuất, tiêu dùng.
• Mô hình hóa các hệ thống kinh tế.

Tin học:

• Giải các bài toán liên quan đến lập trình, giải thuật.
• Thiết kế các hệ thống thông tin.
• Mô hình hóa các hệ thống tin học.

Ngoài ra, phép cộng phân thức còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác như hóa học, sinh học, y học, tài chính, v.v.

Ví dụ:

Bài toán:Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h. Sau 1 giờ, một ô tô khác cũng đi từ A đến B với vận tốc 80 km/h. Hỏi sau bao lâu hai ô tô gặp nhau?

Giải:

Bước 1:Gọi x là thời gian hai ô tô gặp nhau (tính bằng giờ).

Bước 2:Quãng đường ô tô thứ nhất đi trong x giờ là 60x km.

Bước 3:Quãng đường ô tô thứ hai đi trong x – 1 giờ là 80(x – 1) km.

Bước 4:Quãng đường AB bằng tổng quãng đường hai ô tô đi.

Bước 5:Ta có phương trình:

60x + 80(x – 1) = 240

Bước 6:Giải phương trình, ta được x = 2.

Vậy:Hai ô tô gặp nhau sau 2 giờ.

Kết luận:

Phép cộng phân thức là một công cụ hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến nhiều lĩnh vực khác nhau. Hiểu rõ cách sử dụng phép cộng phân thức giúp học sinh và sinh viên giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác.

Phép cộng các phân thức đại sốlà một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phân thức. Việc nắm vững kiến thức về phép cộng các phân thức đại số giúp học sinh giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và chính xác, đồng thời góp phần phát triển tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề.

Bài viết này đã trình bày hai phương pháp cơ bản để cộng các phân thức đại số.Hy vọng rằng những kiến thức này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách thực hiện phép cộng các phân thức đại số và áp dụng vào giải các bài toán thực tế.